Стереометрия - раздел геометрии, изучающий фигуры, которые не лежат в одной плоскости. Одним из объектов изучения стереометрии являются призмы. В статье дадим определение призме с геометрической точки зрения, а также кратко перечислим свойства, которые для нее характерны.
Геометрическая фигура
Определение призмы в геометрии звучит следующим образом: это пространственная фигура, состоящая из двух одинаковых n-угольников, расположенных в параллельных плоскостях, соединенных друг с другом своими вершинами.
Получить призму не представляет никакого труда. Представим, что есть два одинаковых n-угольника, где n - это число сторон или вершин. Поместим их так, чтобы они были друг другу параллельны. После этого вершины одного многоугольника следует соединить с соответствующими вершинами другого. Образованная фигура будет состоять из двух n-угольных сторон, которые называются основаниями, и n четырехугольных сторон, представляющих собой в общем случае параллелограммы. Совокупность параллелограммов образует боковую поверхность фигуры.
Существует еще один способ геометрического получения рассматриваемой фигуры. Так, если взять n-угольник и совершить его перенос в другую плоскость при помощи параллельных отрезков равной длины, то в новой плоскости мы получим исходный многоугольник. Оба многоугольника и все параллельные отрезки, проведенные из их вершин, образуют призму.
Рисунок выше демонстрирует Так она называется потому, что ее основания представляют собой треугольники.
Элементы, из которых состоит фигура
Выше было дано определение призмы, из которого понятно, что главными элементами фигуры являются ее грани или стороны, ограничивающие все внутренние точки призмы от внешнего пространства. Любая грань рассматриваемой фигуры принадлежит к одному из двух типов:
- боковая;
- основания.
Боковых n штук, и они являются параллелограммами или их частными видами (прямоугольниками, квадратами). В общем случае боковые грани отличаются друг от друга. Граней основания всего две, они представляют собой n-угольники и друг другу равны. Таким образом, всякая призма имеет n+2 стороны.
Помимо сторон, фигура характеризуется своими вершинами. Они представляют собой точки, где соприкасаются одновременно три грани. Причем две из трех граней всегда принадлежат боковой поверхности, а одна - основанию. Таким образом, в призме нет специально выделенной одной вершины, как, например, в пирамиде, все они являются равноправными. Число вершин фигуры равно 2*n (по n штук для каждого основания).
Наконец, третьим важным элементом призмы являются ее ребра. Это отрезки определенной длины, которые образуются в результате пересечения сторон фигуры. Как и грани, ребра также имеют два разных типа:
- либо образованы только боковыми сторонами;
- либо возникают на стыке параллелограмма и стороны n-угольного основания.
Число ребер, таким образом, равно 3*n, причем 2*n из них относятся ко второму из названных типов.
Виды призм
Выделяют несколько способов классификации призм. Однако все они основаны на двух особенностях фигуры:
- на типе n-угольного основания;
- на типе боковой стороны.
Для начала обратимся ко второй особенности и дадим определение и прямой. Если хотя бы одна боковая сторона является параллелограммом общего типа, то фигура называется наклонной, или косоугольной. Если же все параллелограммы представляют собой прямоугольники или квадраты, то призма будет прямой.
Дать определение можно также несколько иначе: прямая фигура - это та призма, у которой боковые ребра и грани перпендикулярны ее основаниям. На рисунке показаны две четырехугольные фигуры. Левая является прямой, правая - наклонной.
Теперь перейдем к классификации согласно типу n-угольника, лежащего в основаниях. Он может иметь одинаковые стороны и углы или разные. В первом случае многоугольник называется правильным. Если рассматриваемая фигура содержит в основании многоугольник с равными сторонами и углами и является прямой, то она называется правильной. Согласно этому определению, правильная призма в основании может иметь равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник или шестиугольник и так далее. Перечисленные правильные фигуры представлены на рисунке.
Линейные параметры призм
Для описания размеров рассматриваемых фигур используют следующие параметры:
- высота;
- стороны основания;
- длины боковых ребер;
- объемные диагонали;
- диагонали боковых сторон и оснований.
Для правильных призм все названные величины связаны друг с другом. Например, длины боковых ребер одинаковы и равны высоте. Для конкретной n-угольной правильной фигуры существуют формулы, позволяющие по двум любым линейным параметрам определить все остальные.
Поверхность фигуры
Если обратиться к данному выше определению призмы, то понять, что представляет поверхность фигуры, будет несложно. Поверхность - это площадь всех граней. Для прямой призмы она вычисляется по формуле:
S = 2*S o + P o *h
где S o - площадь основания, P o - периметр n-угольника в основании, h - высота (расстояние между основаниями).
Объем фигуры
Наряду с поверхностью для практики важно знать объем призмы. Определить его можно по следующей формуле:
Это выражение справедливо для абсолютно любого вида призм, включая те, которые являются наклонными и образованы неправильными многоугольниками.
Для правильных является функцией длины стороны основания и высоты фигуры. Для соответствующей n-угольной призмы формула для V имеет конкретный вид.
Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.
Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.
Элементы треугольной призмы
Треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 являются основаниями призмы .
Четырехугольники A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 и A 1 C 1 CA являются боковыми гранями призмы .
Стороны граней являются ребрами призмы (A 1 B 1 , A 1 C 1 , C 1 B 1 , AA 1 , CC 1 , BB 1 , AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.
Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).
Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.
Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.
— это сумма площадей четырехугольных граней призмы.
Виды треугольных призм
Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.
У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)
Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.
Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.
Основные формулы для расчета треугольной призмы
Объем треугольной призмы
Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.
Объем призмы = площадь основания х высота
V=S осн. h
Площадь боковой поверхности призмы
Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота
S бок =P осн. h
Площадь полной поверхности призмы
Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.
так как S бок =P осн. h, то получим:
S полн.пов. =P осн. h+2S осн
Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Свойства призмы :
Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.
Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см 2 , то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см 3 . Если площадь основания в мм 2 , то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм 3 и т. д.
Пример призмы
В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.
Задачи на расчет треугольной призмы
Задача 1
. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение:
Объем прямой призмы равен V = Sh, где S - площадь основания, а h - боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:
V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.
Задача 2.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
Решение:
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S осн ·h.
Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1 .
Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.
Таким образом, искомый объём равен 20.
С помощью этого видеоурока все желающие смогут самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы». В ходе занятия учитель расскажет о том, что представляют собой такие геометрические фигуры, как многогранник и призмы, даст соответствующие определения и объяснит их суть на конкретных примерах.
С помощью этого урока все желающие смогут самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы».
Определение . Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.
Рассмотрим следующие примеры многогранников:
1. Тетраэдр ABCD - это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС , ADB , BDC и ADC (рис. 1).
Рис. 1
2. Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - это поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 2).
Рис. 2
Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.
Грани - это многоугольники, составляющие многогранник.
Ребра - это стороны граней.
Вершины - это концы ребер.
Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы.
Грани : треугольники АВС, ADB, BDC, ADC .
Ребра : АВ, АС, ВС, DC , AD , BD .
Вершины : А, В, С, D .
Рассмотрим параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 2).
Грани : параллелограммы АА 1 D 1 D, D 1 DСС 1 , ВВ 1 С 1 С, АА 1 В 1 В, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .
Ребра : АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.
Вершины : A, B, C, D, A 1 ,B 1 ,C 1 ,D 1 .
Важным частным случаем многогранника является призма.
АВСА 1 В 1 С 1 (рис. 3).
Рис. 3
Равные треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 расположены в параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА 1 , ВВ 1 , СС 1 параллельны.
То есть АВСА 1 В 1 С 1 - треугольная призма, если:
1) Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны.
2) Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC ║А 1 B 1 C (α ║ β).
3) Ребра АА 1 , ВВ 1 , СС 1 параллельны.
АВС и А 1 В 1 С 1 - основания призмы.
АА 1 , ВВ 1 , СС 1 - боковые ребра призмы.
Если с произвольной точки Н 1 одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН 1 на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.
Определение . Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае - наклонной.
Рассмотрим треугольную призму АВСА 1 В 1 С 1 (рис. 4). Эта призма - прямая. То есть, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Например, ребро АА 1 перпендикулярно плоскости АВС . Ребро АА 1 является высотой этой призмы.
Рис. 4
Заметим, что боковая грань АА 1 В 1 В перпендикулярна к основаниям АВС и А 1 В 1 С 1 , так как она проходит через перпендикуляр АА 1 к основаниям.
Теперь рассмотрим наклонную призму АВСА 1 В 1 С 1 (рис. 5). Здесь боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания. Если опустить из точки А 1 перпендикуляр А 1 Н на АВС , то этот перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что отрезок АН - это проекция отрезка АА 1 на плоскость АВС .
Тогда угол между прямой АА 1 и плоскостью АВС это угол между прямой АА 1 и её АН проекцией на плоскость, то есть угол А 1 АН .
Рис. 5
Рассмотрим четырехугольную призму ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 6). Рассмотрим, как она получается.
1) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A 1 B 1 C 1 D 1 : ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 .
2) Четырехугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 ABC ║А 1 B 1 C (α ║ β).
3) Четырехугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1 .
Определение . Диагональ призмы - это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
Например, АС 1 - диагональ четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
Определение . Если боковое ребро АА 1 перпендикулярно плоскости основания, то такая призма называется прямой.
Рис. 6
Частным случаем четырёхугольной призмы является известный нам параллелепипед. Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 изображен на рис. 7.
Рассмотрим, как он устроен:
1) В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае - равные параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 : ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 .
2) Параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC ║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).
3) Параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 расположены таким образом, что боковые ребра параллельны между собой: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1 .
Рис. 7
Из точки А 1 опустим перпендикуляр АН на плоскость АВС . Отрезок А 1 Н является высотой.
Рассмотрим, как устроена шестиугольная призма (рис. 8).
1) В основании лежат равные шестиугольники ABCDEF и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 : ABCDEF = A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 .
2) Плоскости шестиугольников ABCDEF и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 параллельны, то есть основания лежат в параллельных плоскостях: ABC ║А 1 B 1 C (α ║ β).
3) Шестиугольники ABCDEF и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 расположены так, что все боковые ребра между собой параллельны: АА 1 ║ВВ 1 …║FF 1 .
Рис. 8
Определение . Если какое-нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такая шестиугольная призма называется прямой.
Определение . Прямая призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники.
Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА 1 В 1 С 1 .
Рис. 9
Треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 - правильная, это значит, что в основаниях лежат правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны. Также данная призма - прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. А это значит, что все боковые грани - равные прямоугольники.
Итак, если треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 - правильная, то:
1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой: AA 1 ⊥ АВС .
2) В основании лежит правильный треугольник: ∆АВС - правильный.
Определение . Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней. Обозначается S полн .
Определение . Площадью боковой поверхности называется сумма площадей всех боковых граней. Обозначается S бок .
Призма имеет два основания. Тогда площадь полной поверхности призмы:
S полн = S бок + 2S осн.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Доказательство проведем на примере треугольной призмы.
Дано : АВСА 1 В 1 С 1 - прямая призма, т. е. АА 1 ⊥ АВС .
АА 1 = h.
Доказать : S бок = Р осн ∙ h.
Рис. 10
Доказательство .
Треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 - прямая, значит, АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С - прямоугольники.
Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С:
S бок = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P осн ∙ h.
Получаем, S бок = Р осн ∙ h, что и требовалось доказать.
Мы познакомились с многогранниками, призмой, её разновидностями. Доказали теорему о боковой поверхности призмы. На следующем уроке мы будем решать задачи на призму.
- Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.
- Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил.
- Якласс ().
- Shkolo.ru ().
- Старая школа ().
- WikiHow ().
- Какое минимальное число граней может иметь призма? Сколько вершин, ребер у такой призмы?
- Существует ли призма, которая имеет в точности 100 ребер?
- Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту призмы, если боковое ребро равно 6 см.
- В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь ее боковой поверхности составляет 27 см 2 . Найдите площадь полной поверхности призмы.
Диагональные сечения Сечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания и два прилежащих к ней боковых ребра, называется диагональным сечением призмы. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания и вершину, называется диагональным сечением пирамиды. Пусть плоскость пересекает пирамиду и параллельна ее основанию. Часть пирамиды, заключенная между этой плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой. Сечение пирамиды также называется основанием усеченной пирамиды.
Построение сечений При построении сечений многогранников, базовыми являются построения точки пересечения прямой и плоскости, а также линии пересечения двух плоскостей. Если даны две точки A и B прямой и известны их проекции A’ и B’ на плоскость, то точкой С пересечения данных прямой и плоскости будет точка пересечения прямых AB и A’B’ Если даны три точки A, B, C плоскости и известны их проекции A’, B’, C’ на другую плоскость, то для нахождения линии пересечения этих плоскостей находят точки P и Q пересечения прямых AB и AC со второй плоскостью. Прямая PQ будет искомой линией пересечения плоскостей.
Упражнение 1 Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на ребрах куба и вершину B. Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F и вершину B, Соединим отрезками точки E и B, F и B. Через точки E и F проведем прямые, параллельные BF и BE, соответственно. Полученный параллелограмм BFGE будет искомым сечением.
Упражнение 2 Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба. Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD. Обозначим Q точку пересечения прямых PG и AB. Соединим точки E и Q, F и G. Полученная трапеция EFGQ будет искомым сечением.
Упражнение 3 Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба. Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD. Обозначим Q, R точки пересечения прямой PG с AB и DC. Обозначим S точку пересечения FR c СС 1. Соединим точки E и Q, G и S. Полученный пятиугольник EFSGQ будет искомым сечением.
Упражнение 4 Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба. Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, найдем точку P пересечения прямой EF и плоскости грани ABCD. Обозначим Q, R точки пересечения прямой PG с AB и CD. Проведем прямую RF и обозначим S, T её точки пересечения с CC 1 и DD 1. Проведем прямую TE и обозначим U её точку пересечения с A 1 D 1. Соединим точки E и Q, G и S, U и F. Полученный шестиугольник EUFSGQ будет искомым сечением.
Упражнение 5 Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, принадлежащие граням BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, соответственно. Решение. Из данных точек опустим перпендикуляры EE’, FF’, GG’ на плоскость грани ABCD, и найдем точки I и H пересечения прямых FE и FG с этой плоскостью. IH будет линией пересечения искомой плоскости и плоскости грани ABCD. Обозначим Q, R точки пересечения прямой IH с AB и BC. Проведем прямые PG и QE и обозначим R, S их точки пересечения с AA 1 и CC 1. Проведем прямые SU, UV и RV, параллельные PR, PQ и QS. Полученный шестиугольник RPQSUV будет искомым сечением.
Упражнение 6 Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на ребрах куба, параллельно диагонали BD. Решение. Проведем прямые FG и EH, параллельные BD. Проведем прямую FP, параллельную EG, и соединим точки P и G. Соединим точки E и G, F и H. Полученный пятиугольник EGPFH будет искомым сечением.
Постройте сечение призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через точки E, F, G. Упражнение 8 Решение. Соединим точки E и F. Проведем прямую FG и ее точку пересечения с CC 1 обозначим H. Проведем прямую EH и ее точку пересечения с A 1 C 1 обозначим I. Соединим точки I и G. Полученный четырехугольник EFGI будет искомым сечением.
Постройте сечение призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через точки E, F, G. Упражнение 9 Решение. Проведем прямую EG и обозначим H и I ее точки пересечения с CC 1 и AC. Проведем прямую IF и ее точку пересечения с AB обозначим K. Проведем прямую FH и ее точку пересечения с B 1 C 1 обозначим L. Соединим точки E и K, G и L. Полученный пятиугольник EKFLG будет искомым сечением.
Постройте сечение призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, параллельной AC 1, проходящей через точки D 1. Упражнение 10 Решение. Через точку D проведем прямую параллельную AC 1 и обозначим E ее точку пересечения с прямой BC 1. Эта точка будет принадлежать плоскости грани ADD 1 A 1. Проведем прямую DE и обозначим F ее точку пересечения с ребром BC. Соединим отрезком точки F и D. Через точку D проведем прямую параллельную прямой FD и обозначим G точку ее пересечения с ребром A 1 C 1, H – точку ее пересечения с прямой A 1 B 1. Проведем прямую DH и обозначим P ее точку пересечения с ребром AA 1. Соединим отрезком точки P и G. Полученный четырехугольник EFIK будет искомым сечением.
Построить сечение призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через точки E на ребре BC, F на грани ABB 1 A 1 и G на грани ACC 1 A 1. Упражнение 11 Решение. Проведем прямую GF и найдем точку H ее пересечения с плоскостью ABC. Проведем прямую EH, и обозначим P и I ее точки пересечения с AC и AB. Проведем прямые PG и IF, и обозначим S, R и Q их точки пересечения с A 1 C 1, A 1 B 1 и BB 1. Соединим точки E и Q, S и R. Полученный пятиугольник EQRSP будет искомым сечением.
Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A, B, D 1. Упражнение 12 Решение. Заметим, что сечение будет проходить через точку E 1. Проведем прямую AB и найдем ее точки пересечения K и L с прямыми CD и FE. Проведем прямые KD 1, LE 1 и найдем их точки пересечения P, Q с прямыми CC 1 и FF 1. Шестиугольник ABPD 1 E 1 Q будет искомым сечением.
Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A, B’, F’. Упражнение 13 Решение. Проведем отрезки AB’ и AF’. Через точку B’ проведем прямую, параллельную AF’, и ее точку пересечения с EE 1 обозначим E’. Через точку F’ проведем прямую, параллельную AB’, и ее точку пересечения с CC 1 обозначим C’. Через точки E’ и C’ проведем прямые, параллельные AB’ и AF’, и их точки пересечения с D 1 E 1 и C 1 D 1 обозначим D’, D”. Соединим точки B’, C’; D’, D”; F’, E’. Полученный семиугольник AB’C’D”D’E’F’ будет искомым сечением.
Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки F’, B’, D’. Упражнение 14 Решение. Проведем прямые F’B’ и F’D’, и найдем их точки пересечения P и Q с плоскостью ABC. Проведем прямую PQ. Обозначим R точку пересечения PQ и FC. Точку пересечения F’R и CC 1 обозначим C’. Соединим точки B’, C’ и C’, D’. Через точку F’ проведем прямые, параллельные C’D’ и B’C’, и их точки пересечения с AA 1 и EE 1 обозначим A’ и E’. Соединим точки A’, B’ и E’, D’. Полученный шестиугольник A’B’C’D’E’F’ будет искомым сечением.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.