Парадокс Кондорсе. Теорема Эрроу о демократических групповых решениях. Парадокс кондорсе, теорема эрроу, или как мы принимаем решения Система с выбыванием – не панацея

Аксиомы Эрроу В 1951 г. Кеннет Эрроу из Стенфордского университета задался вопросом о возможности создания системы голосования, которая одновременно удовлетворяла бы трем принципам: рациональности (без противоречий, отсутствия нетранзитивности), демократичности (один человек - один голос) и разрешимости (позволяла осуществлять выбор). Такую систему он не предложил, но Эрроу разработал набор требований, аксиом, которым она должна удовлетворять. На основе приведенных аксиом Эрроу попытался в общем виде доказать существование системы голосования, удовлетворяющей одновременно трем перечисленным выше принципам. Рассмотрим эти аксиомы . Аксиома 1 - аксиома универсальности- требует, чтобы система голосования была действенной при любом возможном распределении голосов, при любых предпочтениях избирателей. Аксиома 2 - аксиома единогласия, в соответствии с которой единогласное мнение всех голосующих за выбор определенного кандидата должно привести к коллективному выбору этого же кандидата. Аксиома 3 - аксиома независимости от несвязанных альтернатив - говорит о том, что в групповом упорядочении порядок определенных кандидатов не должен измениться, при изменении отношений избирателей к прочим кандидатам. Аксиома 4 - аксиома полноты, согласно которой система голосования должна сравнивать любую пару кандидатов. Аксиома 5 - условие транзитивности предполагает, что система голосования не должна нарушать транзитивность отношений избирателей, в ней не должно быть противоречий. Определив пять аксиом желаемой системы голосования, Эрроу в то же время показал, что системы, удовлетворяющие этим аксиомам, обладают с точки зрения демократических свобод недопустимым недостатком: для выполнения аксиоматических требований они предполагают участие личности (диктатора), навязывающей всем остальным избирателям свои предпочтения. Требование же исключения диктатора приводит к невозможности создания системы голосования, удовлетворяющей всем аксиомам Эрроу. Поэтому результат Эрроу называют "теоремой невозможности".

32 Принятие решений в условиях определенности

В условиях определенности лицо, принимающее решение, знает все о возможных состояниях сущности явлений, влияющих на решение, и знает, какое решение будет принято. Лицо, принимающее решение, просто выбирает стратегию, направление действий или проект, которые дадут максимальную отдачу.

В общем случае выработка решений в условиях определенности направлена на поиск максимальной отдачи либо в виде максимизации выгоды (дохода, прибыли иди полезности), либо минимизации затрат. Такой поиск называется оптимизационным анализом. Три метода оптимизации, используются лицом, принимающим решение: предельный анализ, линейное программирование и приростной анализ прибыли.

Определенность понимается как такое состояние знания, когда лицо, принимающее решение, заранее знает конкретный исход для каждой альтернативы. Иначе говоря, лицо, принимающее решение, обладает исчерпывающим знанием состояния среды и результатов каждого возможного решения.

Определенность имеет место в большинстве арифметических и алгебраических задач, а также во многих моделях линейного и нелинейного программирования. Такие модели используются для поиска варианта распределения ресурсов, дающего, наибольшую отдачу по определенному показателю (такому, как прибыль или стоимость), или наименьшему значению некоторого другого критерии (такого, как затраты) в условиях заданных ограничений.

В действительности только, немногое может оставаться определенным на достаточно большом временном интервале. Поэтому, стратегические решения принимаются в условиях, весьма далеких от полного знания. Соответственно, они принимаются в условиях либо риска, либо неопределенности.

Определенность

Решение принимается в условиях определенности, когда руководитель может с точностью определить результат каждого альтернативного решения, возможного в данной ситуации. Сравнительно мало организационных или персональных решений принимается в условиях определенности. Однако они все-таки имеют место. Кроме того, элементы сложных крупных решений можно рассматривать как определенные. Уровень определенности при принятии решений зависит от внешней среды. Он увеличивается при наличии твердой правовой базы, ограничивающей количество альтернатив и снижающей уровень риска.

Доказательство, которое я излагаю, следует содержанию одной из статей на эту тему в журнале "Квант". Я намеренно стараюсь использовать минимум формул, не жертвуя при этом строгостью. Следующий абзац частью доказательства не является, и его можно свободно пропустить при чтении.

Можно заметить, что количество мнений, которые может высказать эксперт, равно n!, где n -- число кандидатов. Если экспертов m, то они могут высказаться (n!)^m способами. Функция обработки каждому из этих вариантов должна сопоставлять коллективное мнение. Поэтому число таких функций есть количество отображений множества из (n!)^m элементов во множество из n! элементов, т.е. равно (n!)^{n!^m}. Из всего этого изобилия теорема Эрроу оставляет нам только m способов, по числу экспертов. Уже при m=n=3 (см. одну из прошлых записей о манипуляции общественным мнением) количество способов обработки равно 6 в степени 216. Вместо этого астрономического 169-значного числа мы остаёмся только с тремя возможностями назначить одного из экспертов диктатором.

Доказательство будет проходить в несколько этапов. Цель -- выявить предполагаемого диктатора. Ключевой идеей является следующая. Пусть A, B -- некоторые кандидаты. Допустим, что одна часть экспертов поставила A выше B, а другая -- В выше A. Допустим, что в коллективном мнении А стоит выше B. Ясно тогда, что диктатор (если он имеется) находится в первой группе. Наш шанс угадать его тем выше, чем меньше по составу первая группа. В идеале хотелось бы иметь такую группу из одного человека, который и являлся бы диктатором. Это приводит к следующему определению.

Пусть X -- некоторая группа экспертов, все представители которой поставили кандидата A выше кандидата B, и пусть все остальные эксперты поступили наоборот. Допустим, что в коллективном мнении A стоит выше B. Тогда группу X назовём решающей коалицией относительно (упорядоченной) пары A, B.

Сделаем несколько замечаний. Данное определение корректно ввиду Принципа Независимости, так как знание порядка следования A и B друг относительно друга в мнении каждого из экспертов однозначно определяет их порядок следования в коллективном мнении. Отметим, что порядок, в котором мы называем кандидатов A, B в общем случае важен (т.е. априори не очевидно, что та же коалиция останется решающей относительно пары B, A). Ясно, что группа из всех экспертов всегда будет решающей относительно любой пары кандидатов ввиду Принципа Единогласия. По этой же причине решающая коалиция не может оказаться пустой, т.е. не содержать ни одного эксперта.

Группу экспертов будем называть просто решающей коалицией , если она является решающей относительно какой-нибудь пары кандидатов. Выберем теперь минимальную решающую коалицию, т.е. такую решающую коалицию M , в которую входит минимально возможное число экспертов. Установим последовательно три факта.

Лемма 1. Коалиция M состоит ровно из одного эксперта d.

Лемма 2. Эксперт d образует решающую коалицию для любой пары.

Лемма 3. Эксперт d -- диктатор.

Докажем Лемму 1. Пусть выбранная коалиция M является решающей относительно кандидатов A, B. В неё входит хотя бы один эксперт d. Рассмотрим три группы экспертов: 1) D ={d} (она состоит только из d), 2) M \ D (все эксперты из M кроме d) и 3) E \ M (все эксперты, не входящие в M ). Поскольку число кандидатов не меньше трёх, мы можем рассмотреть ещё одного кандидата C. Наша задача - показать, что либо коалиция D , либо коалиция M \ D будет также решающей (относительно некоторой пары с участием C). Ввиду минимальности коалиции M , отсюда сразу будет следовать, что M состоит только из d.

Предположим, что эксперты из каждой группы расставили кандидатов в следущем порядке:

1). .... A ..... B ..... C .....

3) ..... B ..... C ..... A .....

В коллективном мнении кандидат A стоит выше кандидата B, так как именно так постановили все эксперты из M (первая и вторая группы), а все остальные эксперты (третья группа) поступили в точности наоборот. Из Принципа Независимости вытекает, что порядок следования кандидатов A, B, C в коллективном мнении однозначно определён. Рассмотрим два случая.

а) Кандидат B стоит выше C в коллективном мнении. Тогда, с учётом того, что A стоит выше B, заключаем, что A стоит выше C. Но кто из экспертов поставил A выше C? Только эксперт d, а все остальные высказали противоположное мнение. Отсюда следует, что коалиция D из одного эксперта d будет решающей для пары A, C. Убедимся, что это на самом деле так. Рассмотрим произвольное голосование, в котором только d поставил в своём мнении A выше C, а остальные поступили наоборот. По Принципу Независимости, в коллективном мнении порядок следования A и C однозначно определён, в каком бы порядке ни были расположены все остальные. Поэтому можно считать без ограничения общности, что кандидат B в мнениях экспертов расположен так, как указано выше. При этом мы уже знаем, что в коллективном мнении A стоит выше C. Поэтому так будет всегда, стоит лишь эксперту d поставить A выше C, а остальным поступить наоборот.

Это рассуждение показывает, что в рамках рассматриваемого случая коалиция D ={d} будет решающей относительно пары A, С. В силу минимальности коалиции M , мы можем сделать вывод, что вторая группа не включает в себя ни одного эксперта, т.е. M совпадает с {d}.

б) Кандидат C стоит выше B в коллективном мнении. Тогда оказывается, что вторая группа образует решающую коалицию относительно пары C, B. Но это очевидным образом противоречит минимальности коалиции M .

Лемма 1 доказана.

Чтобы убедиться в справедливости Леммы 2, заметим, что для любого кандидата C должен иметь место случай а) из предыдущей леммы. Иными словами, эксперт d (наш "кандидат в диктаторы") образует решающую коалицию относительно пары A, C. Из соображений симметрии ясно, что этот же эксперт будет образовывать решающую коалицию и относительно пары C, B. Всё сказанное позволяет заключить, что если d образует решающую коалицию для какой-то пары, то он будет образовывать её для любой пары, в которой один из её элементов (первый или второй) заменён на какой-либо другой. Но от любой пары к любой можно при помощи таких замен перейти максимум за три шага -- наибольшего числа шагов требует переход от (A,B) к (B,A). Этот процесс напоминает известную игру по превращению слова МУХА в слово СЛОН при помощи замены букв, только в данной ситуации всё намного проще.

Итак, мы приходим к выводу, что {d} -- решающая коалиция для любой пары. Тем самым доказана Лемма 2, но это ещё не даёт возможности заключить, что d -- диктатор.

В самом деле, каковы бы ни были кандидаты A, B, мы пока не можем гарантировать, что предпочтение одного из них другому экспертом d немедленно повлечёт за собой, что именно в таком порядке эти кандидаты будут располагаться в коллективном мнении -- ведь нам ещё требуется, чтобы все остальные эксперты высказались наоборот. Покажем, что мнение эксперта d относительно порядка следования A, B всегда будет достаточным для того, чтобы и в коллективном мнении было так же. В этом состоит содержание Леммы 3, утверждающей, что d -- диктатор.

Итак, вновь разобьём всех экспертов на три группы: пусть первая группа состоит только из d, который поставил A выше B; во вторую группу пусть войдут те, кто высказался так же про этих кандидатов, а в третьей группе пусть будут все эксперты, поставившие B выше A (вторая или третья группа могут оказаться пустыми). Как и ранее, рассмотрим кандидата C, отличного от A и B. Рассмотрим такое голосование, при котором только d поставил A выше C, и все эксперты поставили C выше B:

1). .... A ..... C ..... B .....
2) ..... C ..... A ..... B .....
3) ..... C ..... B ..... A .....

Тогда в коллективном мнении A стоит выше C в силу того, что {d} -- решающая коалиция относительно A, C. По Принципу Единогласия, С в коллективном мнении опережает B. Следовательно, A в коллективном мнении расположен выше B, и для этого оказалось достаточным, чтобы так их расположил эксперт d.

Итак, d на самом деле является диктатором. Лемма 3 доказана, и вместе с ней доказана теорема Эрроу.

Теорема Эрроу (также известна как «Парадокс Эрроу », англ. Arrow’s paradox ) - теорема о невозможности «коллективного выбора ». Сформулирована американским экономистом Кеннетом Эрроу в 1951 году . Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат. Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.

Формулировки

Формулировка 1951 года

Пусть есть N ≥2 избирателей, голосующих за n ≥3 кандидатов (в терминах теории принятия решений кандидатов принято называть альтернативами ). У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов - функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования ) в общий упорядоченный список.

Система выборов может обладать такими свойствами:

Универсальность Для любого профиля голосования существует результат - упорядоченный список из n альтернатив. Полнота Система голосования может давать в качестве результата все n ! перестановок альтернатив. Монотонность Если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться. Отсутствие диктатора Нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей. Независимость от посторонних альтернатив Если профиль голосования изменится так, что альтернативы x и y во всех N списках останутся в том же порядке, то не изменится их порядок и в окончательном результате.

Формулировка 1963 года

В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы.

Универсальность Отсутствие диктатора Независимость от посторонних альтернатив Эффективность по Парето , или принцип единогласия если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y , это же должно быть и в окончательном результате.

Доказательство теоремы Эрроу

Введем следующие обозначения:

• $O$ - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.
• $L\_i$ - линейный порядок предпочтений $i$-го агента на множестве $O$ заданный отношением $\backslash succ\_i$.
• $[\backslash succ"]$ - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов).
• $W:\; L^N\; \backslash to\; L\_W$ - функция общественного благосостояния.
• $\backslash succ\_W$ - коллективные предпочтения.

Дадим формальные определения:

• Парето-эффективность : $W$ парето-эффективна, если для любых исходов $o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O,\; \backslash forall\; i\; (o\_1\; \backslash succ\_i\; o\_2)\; \backslash Rightarrow\; (o\_1\; \backslash succ\_W\; o\_2)$.
• Независимость от посторонних альтернатив : $W$ независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов $o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O$ и для любых двух профилей предпочтений $[\backslash succ"]$ и $[\backslash succ$] \in L_n, \forall i (o_1 \succ"_i o_2 \Leftrightarrow o_1 \succ _i o_2) \Rightarrow (o_1 \succ_{W([\succ"])} o_2 \Leftrightarrow 0_1 \succ_{W([\succ ])} o_2).
• Отсутствие диктатора : считаем, что для $W$ отсутствует диктатор, если не существует такого $i$, что $\backslash forall\; o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O\; (o\_1\; \backslash succ\_i\; o\_2\; \backslash Rightarrow\; o\_1\; \backslash succ\_W\; o\_2)$.
• Теорема Эрроу : если $|O|\; \backslash geq\; 3$, то любая Парето-эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния $W$ имеет диктатора.

Доказательство проведем в 4 этапа.

Этап 1. Если каждый агент помещает исход $b$ в самый верх или самый низ своего списка предпочтений (при этом не требуется, чтобы все агенты действовали одинаково), то и в $\backslash succ\_W$ исход $b$ тоже будет либо вверху, либо внизу списка.

Возьмем произвольный профиль $[\backslash succ]$ такой, что в нём для всех агентов $i$ исход $b$ расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений $\backslash succ\_i$. Теперь допустим, что наше утверждение неверно, то есть существуют такие $a,\; c\; \backslash in\; O$, что $a\; \backslash succ\_W\; b$ и $b\; \backslash succ\_W\; c$. Изменим тогда профиль $[\backslash succ]$ так, чтобы для всех агентов выполнялось $c\; \backslash succ\_i\; a$, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль $[\backslash succ"]$. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле $a\; \backslash succ\_W\; b$ и $b\; \backslash succ\_W\; c$. Следовательно, в силу транзитивности $\backslash succ\_W$ получаем $a\; \backslash succ\_W\; c$. Но мы предположили, что для всех агентов $c\; \backslash succ\_i\; a$, тогда в силу Парето-эффективности должно быть $c\; \backslash succ\_W\; a$. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Этап 2. Для всякого исхода $b$ существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход $b$ из самой нижней позиции в списке $\backslash succ\_W$ в самую верхнюю позицию в этом списке. Иными словами, найдутся два профиля $[\backslash succ^1]$ и $[\backslash succ^2]$, отличающихся только предпочтениями агента $i$, что $b$ находится в конце списка для $[\backslash succ^1\_W]$ и в начале списка для $[\backslash succ^2\_W]$.

Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход $b$ в самом низу своего списка предпочтений $\backslash succ\_i$. Ясно, что и в $\backslash succ\_W$ исход $b$ находится на самой нижней позиции (в силу Парето-эффективности). Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход $b$ с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Когда все агенты поставят исход $b$ первым в своём списке предпочтений, он будет первым и для $\backslash succ\_W$. Таким образом, в какой-то момент $\backslash succ\_W$ изменится. Пусть $n^*$ - агент, который, переставив таким образом $b$, изменил $\backslash succ\_W$ (в первый раз). Обозначим $[\backslash succ^1]$ - профиль предпочтений как раз до того, как $n^*$ переместил $b$, а $[\backslash succ^2]$ - профиль предпочтений сразу же после того, как $n^*$ переместил $b$. Таким образом, в $[\backslash succ^2]$ исход $b$ изменил свою позицию в $\backslash succ\_W$, при этом для всех агентов $b$ находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции $\backslash succ\_i$. Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в $\backslash succ\_W$ исход $b$ занимает самую верхнюю позицию.

Этап 3. $n^*$ - диктатор над всеми парами , не включающими в себя $b$.

Выберем из пары любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля $[\backslash succ^2]$ построим $[\backslash succ^3]$ следующим образом: в $\backslash succ\_\{n^*\}$, переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом $a$ и $c$. Тогда, как и в $[\backslash succ^1]$ получим, что $a\; \backslash succ\_W\; b$ (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в $[\backslash succ^2]$ получим, что $b\; \backslash succ\_W\; c$. Тогда $a\; \backslash succ\_W\; c$. Теперь построим профиль предпочтений $[\backslash succ^4]$ следующим образом: для всех агентов поместим исход $b$ на произвольную позицию в списке предпочтений $\backslash succ\_i$, для агента $n^*$ поместим исход $a$ в произвольную позицию до исхода $с$. Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив $a\; \backslash succ\_W\; c$. Мы получили, что все агенты, кроме $n^*$ имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат $a\; \backslash succ\_W\; c$ получился исходя только лишь из предположения, что $a\; \backslash succ\_\{n^*\}\; c$.

Этап 4. $n^*$ - диктатор над всеми парами .

Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент $n^\{**\}$ для этого исхода, он же является диктатором для всех пар , где, в частности, $A\; =\; a,\; B\; =\; b$. Если бы агент $n^\{**\}\; \backslash neq\; n^*$ был дикатором над , никакая замена предпочтений агента $n^*$ не могла бы поменять ранжирование $a$ и $b$ в $\backslash succ\_W$. Но на Этапе 2 агент $n^*$ переставил $b$ с последнего места на первое в $\backslash succ\_W$, и таким образом был обязан поменять местами $a$ и $b$. Следовательно, можно заключить, что $n^\{**\}$ совпадает с $n^*$, то есть $n^*$ и есть диктатор.

Доказательство завершено.

См. также

• Парадокс Кондорсе - парадокс выборов, обобщением которого явилась теорема Эрроу.

Напишите отзыв о статье "Теорема Эрроу"

Ссылки

Примечания

Институт выборов Уровень выборов Избирательные системы Избирательная кампания Голосование Избирательное право Электоральная география Нарушения на выборах Псефология

Отрывок, характеризующий Теорема Эрроу

На Пьера не находили, как прежде, минуты отчаяния, хандры и отвращения к жизни; но та же болезнь, выражавшаяся прежде резкими припадками, была вогнана внутрь и ни на мгновенье не покидала его. «К чему? Зачем? Что такое творится на свете?» спрашивал он себя с недоумением по нескольку раз в день, невольно начиная вдумываться в смысл явлений жизни; но опытом зная, что на вопросы эти не было ответов, он поспешно старался отвернуться от них, брался за книгу, или спешил в клуб, или к Аполлону Николаевичу болтать о городских сплетнях.
«Елена Васильевна, никогда ничего не любившая кроме своего тела и одна из самых глупых женщин в мире, – думал Пьер – представляется людям верхом ума и утонченности, и перед ней преклоняются. Наполеон Бонапарт был презираем всеми до тех пор, пока он был велик, и с тех пор как он стал жалким комедиантом – император Франц добивается предложить ему свою дочь в незаконные супруги. Испанцы воссылают мольбы Богу через католическое духовенство в благодарность за то, что они победили 14 го июня французов, а французы воссылают мольбы через то же католическое духовенство о том, что они 14 го июня победили испанцев. Братья мои масоны клянутся кровью в том, что они всем готовы жертвовать для ближнего, а не платят по одному рублю на сборы бедных и интригуют Астрея против Ищущих манны, и хлопочут о настоящем Шотландском ковре и об акте, смысла которого не знает и тот, кто писал его, и которого никому не нужно. Все мы исповедуем христианский закон прощения обид и любви к ближнему – закон, вследствие которого мы воздвигли в Москве сорок сороков церквей, а вчера засекли кнутом бежавшего человека, и служитель того же самого закона любви и прощения, священник, давал целовать солдату крест перед казнью». Так думал Пьер, и эта вся, общая, всеми признаваемая ложь, как он ни привык к ней, как будто что то новое, всякий раз изумляла его. – «Я понимаю эту ложь и путаницу, думал он, – но как мне рассказать им всё, что я понимаю? Я пробовал и всегда находил, что и они в глубине души понимают то же, что и я, но стараются только не видеть ее. Стало быть так надо! Но мне то, мне куда деваться?» думал Пьер. Он испытывал несчастную способность многих, особенно русских людей, – способность видеть и верить в возможность добра и правды, и слишком ясно видеть зло и ложь жизни, для того чтобы быть в силах принимать в ней серьезное участие. Всякая область труда в глазах его соединялась со злом и обманом. Чем он ни пробовал быть, за что он ни брался – зло и ложь отталкивали его и загораживали ему все пути деятельности. А между тем надо было жить, надо было быть заняту. Слишком страшно было быть под гнетом этих неразрешимых вопросов жизни, и он отдавался первым увлечениям, чтобы только забыть их. Он ездил во всевозможные общества, много пил, покупал картины и строил, а главное читал.
Он читал и читал всё, что попадалось под руку, и читал так что, приехав домой, когда лакеи еще раздевали его, он, уже взяв книгу, читал – и от чтения переходил ко сну, и от сна к болтовне в гостиных и клубе, от болтовни к кутежу и женщинам, от кутежа опять к болтовне, чтению и вину. Пить вино для него становилось всё больше и больше физической и вместе нравственной потребностью. Несмотря на то, что доктора говорили ему, что с его корпуленцией, вино для него опасно, он очень много пил. Ему становилось вполне хорошо только тогда, когда он, сам не замечая как, опрокинув в свой большой рот несколько стаканов вина, испытывал приятную теплоту в теле, нежность ко всем своим ближним и готовность ума поверхностно отзываться на всякую мысль, не углубляясь в сущность ее. Только выпив бутылку и две вина, он смутно сознавал, что тот запутанный, страшный узел жизни, который ужасал его прежде, не так страшен, как ему казалось. С шумом в голове, болтая, слушая разговоры или читая после обеда и ужина, он беспрестанно видел этот узел, какой нибудь стороной его. Но только под влиянием вина он говорил себе: «Это ничего. Это я распутаю – вот у меня и готово объяснение. Но теперь некогда, – я после обдумаю всё это!» Но это после никогда не приходило.
Натощак, поутру, все прежние вопросы представлялись столь же неразрешимыми и страшными, и Пьер торопливо хватался за книгу и радовался, когда кто нибудь приходил к нему.
Иногда Пьер вспоминал о слышанном им рассказе о том, как на войне солдаты, находясь под выстрелами в прикрытии, когда им делать нечего, старательно изыскивают себе занятие, для того чтобы легче переносить опасность. И Пьеру все люди представлялись такими солдатами, спасающимися от жизни: кто честолюбием, кто картами, кто писанием законов, кто женщинами, кто игрушками, кто лошадьми, кто политикой, кто охотой, кто вином, кто государственными делами. «Нет ни ничтожного, ни важного, всё равно: только бы спастись от нее как умею»! думал Пьер. – «Только бы не видать ее, эту страшную ее ».

В начале зимы, князь Николай Андреич Болконский с дочерью приехали в Москву. По своему прошедшему, по своему уму и оригинальности, в особенности по ослаблению на ту пору восторга к царствованию императора Александра, и по тому анти французскому и патриотическому направлению, которое царствовало в то время в Москве, князь Николай Андреич сделался тотчас же предметом особенной почтительности москвичей и центром московской оппозиции правительству.
Князь очень постарел в этот год. В нем появились резкие признаки старости: неожиданные засыпанья, забывчивость ближайших по времени событий и памятливость к давнишним, и детское тщеславие, с которым он принимал роль главы московской оппозиции. Несмотря на то, когда старик, особенно по вечерам, выходил к чаю в своей шубке и пудренном парике, и начинал, затронутый кем нибудь, свои отрывистые рассказы о прошедшем, или еще более отрывистые и резкие суждения о настоящем, он возбуждал во всех своих гостях одинаковое чувство почтительного уважения. Для посетителей весь этот старинный дом с огромными трюмо, дореволюционной мебелью, этими лакеями в пудре, и сам прошлого века крутой и умный старик с его кроткою дочерью и хорошенькой француженкой, которые благоговели перед ним, – представлял величественно приятное зрелище. Но посетители не думали о том, что кроме этих двух трех часов, во время которых они видели хозяев, было еще 22 часа в сутки, во время которых шла тайная внутренняя жизнь дома.
В последнее время в Москве эта внутренняя жизнь сделалась очень тяжела для княжны Марьи. Она была лишена в Москве тех своих лучших радостей – бесед с божьими людьми и уединения, – которые освежали ее в Лысых Горах, и не имела никаких выгод и радостей столичной жизни. В свет она не ездила; все знали, что отец не пускает ее без себя, а сам он по нездоровью не мог ездить, и ее уже не приглашали на обеды и вечера. Надежду на замужество княжна Марья совсем оставила. Она видела ту холодность и озлобление, с которыми князь Николай Андреич принимал и спроваживал от себя молодых людей, могущих быть женихами, иногда являвшихся в их дом. Друзей у княжны Марьи не было: в этот приезд в Москву она разочаровалась в своих двух самых близких людях. М lle Bourienne, с которой она и прежде не могла быть вполне откровенна, теперь стала ей неприятна и она по некоторым причинам стала отдаляться от нее. Жюли, которая была в Москве и к которой княжна Марья писала пять лет сряду, оказалась совершенно чужою ей, когда княжна Марья вновь сошлась с нею лично. Жюли в это время, по случаю смерти братьев сделавшись одной из самых богатых невест в Москве, находилась во всем разгаре светских удовольствий. Она была окружена молодыми людьми, которые, как она думала, вдруг оценили ее достоинства. Жюли находилась в том периоде стареющейся светской барышни, которая чувствует, что наступил последний шанс замужества, и теперь или никогда должна решиться ее участь. Княжна Марья с грустной улыбкой вспоминала по четвергам, что ей теперь писать не к кому, так как Жюли, Жюли, от присутствия которой ей не было никакой радости, была здесь и виделась с нею каждую неделю. Она, как старый эмигрант, отказавшийся жениться на даме, у которой он проводил несколько лет свои вечера, жалела о том, что Жюли была здесь и ей некому писать. Княжне Марье в Москве не с кем было поговорить, некому поверить своего горя, а горя много прибавилось нового за это время. Срок возвращения князя Андрея и его женитьбы приближался, а его поручение приготовить к тому отца не только не было исполнено, но дело напротив казалось совсем испорчено, и напоминание о графине Ростовой выводило из себя старого князя, и так уже большую часть времени бывшего не в духе. Новое горе, прибавившееся в последнее время для княжны Марьи, были уроки, которые она давала шестилетнему племяннику. В своих отношениях с Николушкой она с ужасом узнавала в себе свойство раздражительности своего отца. Сколько раз она ни говорила себе, что не надо позволять себе горячиться уча племянника, почти всякий раз, как она садилась с указкой за французскую азбуку, ей так хотелось поскорее, полегче перелить из себя свое знание в ребенка, уже боявшегося, что вот вот тетя рассердится, что она при малейшем невнимании со стороны мальчика вздрагивала, торопилась, горячилась, возвышала голос, иногда дергала его за руку и ставила в угол. Поставив его в угол, она сама начинала плакать над своей злой, дурной натурой, и Николушка, подражая ей рыданьями, без позволенья выходил из угла, подходил к ней и отдергивал от лица ее мокрые руки, и утешал ее. Но более, более всего горя доставляла княжне раздражительность ее отца, всегда направленная против дочери и дошедшая в последнее время до жестокости. Ежели бы он заставлял ее все ночи класть поклоны, ежели бы он бил ее, заставлял таскать дрова и воду, – ей бы и в голову не пришло, что ее положение трудно; но этот любящий мучитель, самый жестокий от того, что он любил и за то мучил себя и ее, – умышленно умел не только оскорбить, унизить ее, но и доказать ей, что она всегда и во всем была виновата. В последнее время в нем появилась новая черта, более всего мучившая княжну Марью – это было его большее сближение с m lle Bourienne. Пришедшая ему, в первую минуту по получении известия о намерении своего сына, мысль шутка о том, что ежели Андрей женится, то и он сам женится на Bourienne, – видимо понравилась ему, и он с упорством последнее время (как казалось княжне Марье) только для того, чтобы ее оскорбить, выказывал особенную ласку к m lle Bоurienne и выказывал свое недовольство к дочери выказываньем любви к Bourienne.

Многообразие процедур, пригодных для принятия коллективных решений, побуждает задуматься, есть ли среди них такие, которые идеальным образом соответствовали бы достаточно полному набору естественных требований (аксиом). Знакомство с теоремой Мэя и парадоксом Кондорсе заставляет скептически относиться к такой возможности. Генерализованный ответ на обсуждаемый вопрос дает теорема о невозможности , доказанная Кеннетом Эрроу в 1951 г.

Теорема утверждает, что не существует правила коллективного выбора у удовлетворяющего одновременно следующим шести требованиям.

• 1. Полнота. Правило должно обеспечивать выбор между любыми двумя альтернативами, отдавая предпочтение одной из них либо признавая обе равноценными.
• 2. Универсальность. Правило обеспечивает результативный выбор при любом сочетании индивидуальных предпочтений.
• 3. Транзитивность. Для любого набора из трех альтернатив х, у и z, если xRy и yRz, то xRz.
• 4. Единогласие. Если xRy выполняется для любого i, т.е. все участники коллективного выбора отдают предпочтение первой из двух альтернатив, то xRy, иначе говоря, коллективный выбор совершается в пользу первой альтернативы (это не что иное, как выполнение требования Парето-эффективности).
• 5. Независимость от посторонних альтернатив. Коллективный выбор между любыми двумя альтернативами х и у зависит от того, как индивиды оценивают эти две альтернативы по отношению друг к другу, но не зависит от отношения индивидов к какой бы то ни было посторонней альтернативе z (например, будет ли признано xRy, может зависеть, в частности, от того, верно ли, что хR iу , но не от того, справедливо ли, что xRz или что xR izR iy).
• 6. Отсутствие "диктатора ". Среди участников коллективного выбора нет такого индивида, любое предпочтение которого xR iy влекло бы за собой xRy независимо от предпочтений всех других индивидов.

Теорему можно сформулировать и иным образом, введя важное понятие рационального выбора. Выбор является рациональным, если он отвечает требованиям полноты и транзитивности. Рациональность индивидуального выбора – одна из ключевых аксиом микроэкономики.

Коллективный выбор не всегда рационален, как мы убедились, рассматривая парадокс голосования. Теорема Эрроу говорит о том, что не существует правила рационального коллективного выбора, которое было бы универсальным, отвечало бы принципу эффективности по Парето, было бы независимо от посторонних альтернатив и при этом предполагало бы подлинно коллективное решение, не сводящееся к фиксации предпочтений одного индивида.

Приступая к доказательству теоремы, прежде всего введем понятие решающей коалиции голосующих. Решающей коалицией является такая совокупность индивидов, входящих в общее число участников коллективного выбора, что при единогласии внутри этой коалиции позиция ее членов становится результатом коллективного выбора. Иными словами, если для всех членов решающей коалиции xR ty, то xRy. Коалиция может быть решающей только для конкретной пары альтернативных вариантов, тогда она называется решающей коалицией, например, для а против b. В то же время могут существовать коалиции, решающие для любой допустимой пары альтернатив; такие коалиции называют решающими без указания конкретной пары.

Докажем, что, если выполняются шесть перечисленных выше условий, то для произвольной пары альтернатив найдется решающая коалиция, состоящая из одного члена.

Выберем некоторую пару альтернатив х и у . Рассмотрим множество решающих для нее коалиций. Это множество не пусто, поскольку из аксиомы единогласия следует, что по крайней мере вся совокупность голосующих составляет решающую коалицию. Вместе с тем правило, удовлетворяющее шести аксиомам, не может быть правилом единогласного принятия решений, так как последнее не отвечает требованию универсальности. Всего лишь при двух участниках, если и (индексы обозначают номера голосующих), единогласное решение не может быть найдено. Следовательно, если существует правило, отвечающее всем шести требованиям, то найдется решающая коалиция для х против у с числом членов меньшим, чем общее число голосующих.

Выберем наименьшую по числу членов решающую коалицию для х против у и обозначим ее Т. Т включает хотя бы двух индивидов (в противном случае это решающая коалиция для х и у , состоящая только из одного члена). Разделим Т на две подгруппы. Пусть в первую из них (назовем ее D ) входит один голосующий, а во вторую (V) – остальные члены наименьшей решающей коалиции для х против у (их может быть один или больше). Совокупность голосующих, не относящихся к T , обозначим W. Поскольку речь не идет о правиле единогласного принятия решений, W не пусто.

Возьмем любую третью альтернативу z. В силу универсальности найдется такой профиль предпочтений, что:

где – нестрогие предпочтения всех членов подгрупп D, V и W.

Поскольку подгруппы D и V вместе составляют решающую коалицию для х против у, то из (4.1) и (4.2) следует xRy.

В то же время V не является решающей коалицией (иначе она была бы решающей в том числе для х и у). Поскольку х, у и z выбираются произвольно, то V, не будучи решающей коалицией, не окажется решающей и для всех возможных z против у. Следовательно, выбор V между z и у блокируется выбором D и W. Значит, из (4.1) и (4.3) вытекает, что невозможно zRy. Таким образом, получаем yRz.

В силу транзитивности: xRz. Однако согласно (4.2) и (4.3) из всех участников голосования только D может строго предпочитать альтернативу х альтернативе z. Получается, что выбор D, а это один человек, определяет общее решение, несмотря на противостояние всех остальных голосующих. Значит, по крайней мере в отношении альтернатив х и z (а они выбраны произвольно) существует "диктатор".

Докажем теперь, что коалиция D, состоящая из одного члена, является решающей для любой пары альтернатив а и b, если эта коалиция – решающая для некоторой пары x и z.

Теперь W будет обозначать совокупность всех участников коллективного выбора, кроме единственного голосующего D, который выступает в роли решающей коалиции для х против z.

Возьмем любую альтернативу а и рассмотрим ситуацию, когда:

Такие предпочтения найдутся в силу полноты и универсальности.

Поскольку D – решающая коалиция для х против z, то xRz. В силу аксиомы единогласия zRa. Поскольку предпочтения транзитивны, xRa.

Из аксиомы независимости от посторонних альтернатив следует, что, если исключить из (4.4) и (4.5) предпочтения, затрагивающие z, последний вывод не изменится. Таким образом, при и всегда имеет место xRa. Но это означает, что D – решающая коалиция для х против любого а.

Теперь возьмем произвольную альтернативу Ь. Рассмотрим ситуацию, когда:

По аналогии с предыдущим рассуждением, bRa, и, следовательно, D – решающая коалиция для b против а. Между тем в роли b и а могут выступать любые альтернативы. Итак, при рассмотрении всякой пары альтернатив исход коллективного выбора совпадает с выбором, который делает коалиция D, состоящая из одного члена. Теорема доказана.

Теорема о невозможности дает на первый взгляд неожиданный ответ на вопрос о перспективах демократического решения проблем, возникающих в обществе. В действительности этот ответ, с одной стороны, достаточно тесно связан с тем, что обсуждалось нами ранее, а с другой – вовсе не означает бесперспективности всякого демократического устройства политической жизни. Принципиальное значение теоремы Эрроу состоит как раз в том, что она обрисовывает ключевые предпосылки осуществимости (или неосуществимости) рационального демократического выбора.

Обратим внимание, что в числе аксиом, сформулированных в данном параграфе, находятся аксиомы полноты, единогласия и универсальности. Это значит, что условия теоремы допускают выбор между всевозможными Парето-эффективными состояниями при самых разных профилях предпочтений. Однако мы знаем, что такого рода выбор предполагает улучшение положения одних индивидов за счет других. Он влечет за собой непримиримые конфликты, и, как мы видели применительно к правилу простого большинства, провоцирует формирование неустойчивых коалиций. Теорема Эрроу говорит, в частности, о том, что в подобных ситуациях полностью гарантировать устойчивость (транзитивность) выбора удается лишь ценой отказа от его коллективного характера, иначе говоря, за счет появления "диктатора".

На деле ослабить значимость проблемы, о которой идет речь, помогают конституционные ограничения вариантов перераспределения. Это очевидным образом сокращает набор альтернатив, из которых может делаться коллективный выбор, т.е. означает отказ от требования полноты.

Успеху коллективного выбора способствует также формирование сообществ на базе предпочтений, разделяемых всеми членами. Таковы, например, клубы, политические партии и т.д. Применительно к ним незначима аксиома универсальности. Принятие устойчивых коллективных решений в сообществах, члены которых разделяют общие ценности, гораздо более достижимо, чем в произвольных группах индивидов.

Аксиома независимости от посторонних альтернатив тесно связана с отказом от учета интенсивности индивидуальных предпочтений. Уместность такого отказа может показаться весьма сомнительной, и, например, правило Борда отражает интенсивность, а применение этого правила не ведет к циклическому голосованию. Проблема, однако, в том, что одновременный учет интенсивности предпочтений многих индивидов предполагает сравнение и соизмерение присущих каждому из них "шкал" полезности. То же правило Борда, по существу, есть способ суммирования интенсивностей индивидуальных предпочтений.

Между тем межличностная сопоставимость шкал полезности представляет собой весьма сильное предположение. Во всяком случае, сопоставление немыслимо без некоторых допущений об относительной значимости благосостояния разных индивидов для общества. Эти допущения, в принципе, могут основываться на консенсусе, предпочтениях большинства и т.д. Однако в таком случае они сами есть продукты коллективного выбора, а мы обсуждаем здесь его исходные условия. Вместе с тем на практике демократии не обходятся без неких явно или неявно фиксируемых представлений о значимости позиций отдельных индивидов. Например, влияние интенсивности предпочтений по отношению к кандидатам на выборные посты неодинаково сказывается при наличии или отсутствии первичных внутрипартийных выборов (того, что в США называется праймериз). В конечном счете теорема Эрроу позволяет понять, почему при наличии разнонаправленных интересов никакой вариант демократического устройства не гарантирует достижения идеала в сфере общественного выбора. Однако отсутствие демократии означало бы отсутствие коллективного выбора, как такового. Вместе с тем, при полном совпадении интересов граждан государство с его принуждающей силой не требовалось бы. В последующих параграфах этой главы нам предстоит рассмотреть, как реальные интересы действующих индивидов детерминируют политические процессы в условиях демократии.

• Эрроу К. Д. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. M.: ИД ГУ ВШЭ, 2004.

Некоторое время назад прочитал книгу Ричарда Румельта . Меня заинтересовал фрагмент, в котором описывается проблема выбора из нескольких альтернатив. Которая, в свою очередь, затрагивает парадокс Кондорсе и теорему Эрроу. Если популярно, то коллективный выбор из более чем двух альтернатив подвержен странностям . Желательно выбирать из двух альтернатив. Любопытно, были ли знакомы с этими закономерностями в Англии и США, когда основывали свою политическую систему на двух партиях!? 🙂

Рис. 1. Предпочтения в выборе альтернатив

Скачать заметку в формате или

Нежелание или неспособность сделать выбор

Выбор означает умение отказываться от одних целей в пользу других. Если этот процесс в организации не выполняется, результат предсказуем - слабая аморфная стратегия. В начале 1992 года Ричард Румельт присутствовал на обсуждении стратегии, в котором принимали участие руководители высшего звена Digital Equipment Corporation (далее DEC); речь шла о будущем направлении развития компании. DEC по праву считалась в 1960–1970-е годы первопроходцем в области микрокомпьютеров и разработок удобных для пользователя операционных систем. Но 90-е годы рынок менялся и руководство DEC терзали вполне обоснованные сомнения: сможет ли компания выжить без кардинальных изменений.

На собрании присутствовал целый ряд влиятельных лиц, высказывавших много идей. Вы услышите голоса лишь трех воображаемых управляющих - назовем их Алек, Беверли и Крейг, - каждый из них высказался в пользу отдельного направления развития. Алек считал, что DEC была и останется ИТ-компанией, специализирующейся на интеграции аппаратного и программного обеспечения в практичные, удобные в применении системы.

Беверли высмеяла идею Алека, окрестив его стратегию «Железо». По ее мнению, «железо» стало обычным предметом потребления и вряд ли способно обеспечить существенное конкурентное преимущество. Единственный реальный ресурс, на базе которого DEC может и должна развиваться, - это взаимоотношения с клиентами. В связи с этим Беверли настаивала на стратегии, которая позволила бы эффективнее решать проблемы клиентов компании. Участники собрания назвали ее стратегию «Решения».

Крейг не поддерживал ни Алека, ни Беверли, поскольку был убежден, что сердце компьютерной индустрии - это полупроводниковые технологии. По его мнению, компании следует сосредоточить свои ресурсы на проектировании и создании новых полупроводников. Естественно, его стратегия получила название «Чипы». Считая, что в вопросах взаимоотношений с клиентами DEC не обладала отличительными компетенциями, Крейг заявил: «У нас довольно сложностей с решением собственных проблем». Алек и Беверли со стратегией Крейга не соглашались, так как полагали, что DEC никогда не сравнится с такими монстрами в области разработки и выпуска микрочипов, как IBM или Intel.

Не лучше было бы прекратить прения и попытаться реализовать все три стратегии? Нет, не лучше. Во-первых, когда люди хотят разрешить конфликт мнений, приняв все предлагаемые варианты, у них напрочь пропадает стимул дорабатывать свои аргументы и выдвигать новые. Только перспектива выбора вдохновляет их тщательно продумывать и четко описывать плюсы своих предложений и минусы идей оппонентов. Во-вторых, стратегии Крейга («Чипы») и Беверли («Решения») предполагали серьезные преобразования в компании; каждая из них требовала создания и развития принципиально новых навыков и методов работы. Обе эти рискованные альтернативы могли быть выбраны, только если бы не прошла стратегия «Железо», сохраняющая удобный статус-кво. И конечно, никто не стал бы одновременно реализовывать стратегии «Чипы» и «Решения», поскольку между ними нет точек соприкосновения. Это нецелесообразно и, по сути, невозможно - организовать и осуществить в компании сразу два фундаментальных преобразования.

В таблице (рис. 1) отображено, как Алек, Беверли и Крейг расставили три альтернативные стратегии развития DEC в порядке своих предпочтений. Данный рейтинг - яркий пример явления, известного под названием парадокс Кондорсе .

Руководители DEC не проводили официально никакого голосования, но в их неспособности сформировать стабильную коалицию большинства явно ощущался эффект парадокса Кондорсе. Когда любые два участника голосования пытались договориться, образуя в итоге большинство, один из них тут же испытывал искушение дезертировать и объединить силы с третьим, чтобы сформировать другое большинство, лучше соответствующее его желаниям и интересам. Предположим, что Беверли и Крейг создали коалицию для поддержки стратегии «Решения». Поскольку она была для Крейга вторым по предпочтению вариантом, он сразу почувствовал бы искушение переметнуться и объединиться с Алеком, создав большинство в поддержку своей стратегии «Чипы». Но и эта коалиция оказалась бы неустойчивой, ибо Алеку наверняка захотелось бы сговориться с Беверли, чтобы упрочить позиции «Железа», и так далее по циклу до бесконечности.

В 1998 году Compaq купила находившуюся в тяжёлом финансовом положении Digital Equipment Corporation. В свою очередь, компания Compaq прекратила самостоятельное существование в 2002 году, когда ее поглотила компания Hewlett-Packard. В 2015 г. компания Hewlett-Packard была разделена на две компании: HP Inc. и Hewlett Packard Enterprise. Идет подготовка к продаже!?

Ни одна избирательная система не идеальна

А вот еще одно объяснение теоремы Эрроу.

Согласно одному из ключевых утверждений в теории общественного выбора, ни одна последовательная и справедливая избирательная система не способна привести к разумному результату. Теорема Эрроу вначале устанавливает разумные условия голосования для того, чтобы собрать различные предпочтения индивидов в единое предпочтение группы.

Такие условия могут привести к абсурдным решениям или явно недемократичному их принятию. Вот как изложили это в своей книге «Анализируя политику» политологи Кен Шепсле и Марк Боншек: «Либо в группе доминирует один выделяющийся индивид, либо в ней складываются нетранзитивные предпочтения». По этой причине теорему иногда называют «диктаторской». Чтобы понять теорему Эрроу, нужно сперва разобраться, какой смысл экономисты и политологи вкладывают в понятие «нетранзитивные предпочтения».

Транзитивные соотношения - это соотношения больше/меньше в математике. Если a > b, и b > c, то a > c. Или старшинство игральных карт: если туз старше короля, а король старше валета, то туз старше валета. Нетранзитивные соотношения - это игра «камень–ножницы–бумага». Камень выигрывает у ножниц, ножницы выигрывают у бумаги, но при этом камень проигрывает бумаге.

Эрроу пытался создать систему голосования, которая была бы последовательной и справедливой, и которая приводила бы к транзитивным групповым предпочтениям при выборе из более чем двух вариантов. Но пытаясь создать такую систему голосования, он доказал, что она невозможна. Условия, которые задал Эрроу для создания логичной и справедливой системы голосования, могут быть описаны следующим образом:

• Каждый избиратель может иметь любой набор логичных предпочтений. Это требование называется «универсальной приемлемостью».
• Если каждый голосующий предпочитает А Б, то тогда вся группа выбирает А, а не Б. Это называется состоянием «единогласия».
• Если каждый голосующий предпочитает А Б, то любое изменение в предпочтениях, которое не влияет на это отношение, не должно влиять на групповое предпочтение. Например, если группа учёных единогласно решает, что Абрахам Линкольн был президентом лучше, чем Честер Артур, то их отношение к Биллу Клинтону никак не должно повлиять на это решение. Такое требование называется «независимостью от посторонних альтернатив».
• Отсутствие диктатора.

Теорема Эрроу утверждает, что, выбирая между более чем двумя вариантами, невозможно соблюсти все эти четыре условия, не создавая при этом цикличных групповых предпочтений. Что ещё ужаснее, транзитивность групповых предпочтений при соблюдении первых трёх условий неизбежно приводит к диктатуре.

Формальное доказательство теоремы потребовало бы углубиться в математику, но проблему можно легко проиллюстрировать мажоритарной избирательной системой. В ней люди голосуют только за наиболее предпочтительного кандидата, и кандидат, набравший наибольшее количество голосов, побеждает. Но проблема в том, что у победителя может быть меньше 50% голосов.

Рассмотрим президентские выборы в США 1992 года. Билл Клинтон выиграл выборы с 43% голосов избирателей. Дж. Буш–старший набрал около 38% голосов, а Росс Перо - около 19%. Теперь предположим, что все избиратели Перо проголосовали бы за Буша, если бы Перо не выдвигал свою кандидатуру. Тогда бы Буш выиграл выборы с 57% голосов. Этот результат нарушает условие независимости от посторонних альтернатив.

Аналогичные проблемы существуют и во всех других системах голосования, поэтому эксперты работают над тем, чтобы выяснить, какие условия можно смягчить, чтобы создать разумный порядок голосования. Большинство учёных считают условия «единогласного» согласия и отсутствия «диктата» священными. Таким образом, основное внимание сосредоточено на условии посторонних альтернатив и, что более важно, на том, как часто отдельные системы сталкиваются с проблемами.

Мажоритарная система, например, не так часто приводит к нетранзитивным предпочтениям, как вы могли бы подумать. Шепсле и Боншек подсчитали, что в выборах из трёх кандидатов с тремя избирателями только 12 договоренностей из 216 возможных привели к нетранзитивным групповым предпочтениям.

Некоторые утверждают, что другие системы голосования (не мажоритарные) являются менее склонными к ошибкам. Двухтуровая система и кембриджская система пропорционального представительства устраняют кандидатов с низким рейтингом (типа Перо), и голоса распределяются среди остальных кандидатов. По такому принципу организована процедура выбора города для проведения Олимпийских игр.

Каждый метод обладает преимуществами, но в каждом гарантированно есть и недостатки, парадоксальные результаты, необходимые для теоремы Эрроу. Практический вопрос для политиков и избирателей состоит в том, какая из этих избирательных систем реже всего приводит к подобным проблемам.

Альтернатива демократии?

…На носу президентские выборы, и у всех американцев на уме политика. Но экономисты, в отличие от большинства людей, равнодушны к голосованию. Ведь шансы на то, что индивидуальный голос повлияет на результат выборов, ничтожно малы. А значит, если вы не любитель выборов, вам нет и особого смысла голосовать. К тому же есть ряд теоретических выкладок. Самая известная из них - теорема Эрроу, которая показывает, сколь сложно изобрести политические системы (и механизмы голосования), которые надежным образом объединяли бы предпочтения избирателей.

Эти теоретические выкладки о плюсах и минусах демократии большей частью навевают зевоту. Однако прошлой весной мой коллега Глен Вейл высказал идею столь простую, что я даже поразился: как же она никому в голову не приходила? А именно: каждый избиратель может голосовать столько раз, сколько ему вздумается. Однако есть хитрость: при каждом голосовании нужно платить, и сумма выплаты составляет квадрат суммы поданных им голосов. Следовательно, каждый дополнительный голос стоит больше, чем предыдущий. Допустим, первый голос обойдется вам в доллар. Тогда за второй голос надо будет заплатить $4. За третий - $9, за четвертый - $16 и т. д. Сто голосов будут стоить $10,000. Значит, как бы вам ни нравился кандидат, бесконечное число раз вы голосовать не сможете.

Чем хороша эта система? Чем больше людям небезразличны результаты выборов, тем больше раз они будут голосовать. Система учитывает не только то, какого кандидата вы предпочитаете, но и то, насколько он предпочтительнее. С учетом предпосылок Глена, такой расклад Парето-эффективен: состояние ни одного члена общества не может быть улучшено без ухудшения положения других лиц.

Вы скажете, что это на руку богачам. Если сравнивать с нынешней системой - да, пожалуй. Но экономист может высказать непопулярное мнение: богачи и так потребляют больше остальных - почему бы им не потреблять больше политического влияния? Возьмем нынешнюю систему пожертвований на президентскую кампанию. Очевидно, что богачи уже обладают гораздо большим влиянием, чем бедняки. Поэтому ограничение предвыборных трат в связи с упомянутой системой может быть демократичнее, чем имеющаяся система.

Еще один возможный довод против: система Глена дает сильный стимул к подкупу избирателей. Гораздо дешевле купить первые голоса множества незаинтересованных граждан, чем платить за собственное сотое голосование. Как только мы будем оценивать голоса в долларах, люди начнут рассматривать голоса в свете финансовых операций и захотят их продавать и покупать.

Конечно, наша практика («один человек - один голос») давно устоялась. Поэтому весьма сомнительно, что идею Глена опробуют на крупных политических выборах. Но два других экономиста, Якоб Гуре и Цзинцзин Чжан, исследовали схожий («аукционный») подход в лаборатории. Он не просто хорошо работает - участники даже склонны предпочитать его традиционной системе голосования.

Данная система подходит для любого случая, когда люди делают выбор между двумя возможностями: скажем, какой из двух фильмов посмотреть, или в какой ресторан пойти, или какой телевизор купить для квартиры. В подобных ситуациях денежный фонд, собранный при голосовании, делится и перераспределяется между всеми участниками. Не хотите попробовать?

Мудрость толпы

В Джеймс Шуровьески приводит условия, необходимые для того, чтобы толпа была мудрой: разнородность, независимость и особый тип децентрализации. Разнородность и независимость важны потому, что самые верные коллективные решения - это продукт противоречий и споров, а не согласия или компромисса. В правильно организованной (разумной) группе, особенно перед лицом когнитивных проблем, участников не призывают изменить свои предложения для достижения приемлемого для всех решения. Вместо этого задействуются механизмы (скажем, рыночные цены или интеллектуальные системы голосования), позволяющие собрать воедино все мнения и вывести из них усредненные коллективные суждения, демонстрирующие не то, как думает какой-либо участник группы, а фактически то, как думают они все вместе. Парадоксально, но лучший способ для группы стать разумной - позволить каждому ее участнику думать и действовать как можно более независимо.

Система с выбыванием – не панацея

А вот что пишут на эту тему Авинаш Диксит и Барри Нейлбафф в книге . Самый распространенный метод голосования - простым большинством. Однако мажоритарная система выборов дает порой парадоксальные результаты. На самом деле принцип большинства вполне эффективен в процессе выборов с участием двух кандидатов. Проблемы начинают возникать, когда в избирательный бюллетень включены три кандидата или более. Во время президентских выборов 2000 года присутствие Ральфа Нейдера в избирательном бюллетене склонило ситуацию со стороны Эла Гора в сторону Джорджа Буша. У Нейдера было 97 488 голосов во Флориде, а Буш победил с перевесом 537 голосов. Не нужно особого воображения, чтобы понять: подавляющее большинство тех избирателей, которые голосовали за Нейдера, предпочли бы Гора Бушу.

Особенность мажоритарной системы впервые обнаружил герой Французской революции маркиз де Кондорсе (1743–1794). В его честь мы проиллюстрируем фундаментальный парадокс принципа простого большинства на примере революционной Франции. Кто должен был стать новым лидером Франции после падения Бастилии? Предположим, на этот пост претендуют три кандидата: господин Робеспьер (Р), господин Дантон (Д) и госпожа Лафарж (Л). Население разделено на три группы (левые, центристы и правые) со следующими предпочтениями (рис. 2).

Рис. 2. Предпочтения населения

В голосовании принимают участие 40 левых, 25 центристов и 35 правых избирателей. В выборе между Робеспьером и Дантоном одержит верх Робеспьер с 75 голосами против 25. В выборе между Робеспьером и Лафарж победит последняя с соотношением голосов 60 против 40. Но в выборе между мадам Лафарж и Дантоном победа достанется Дантону с перевесом 65 против 35 голосов.

Кондорсе предложил определять итоги выборов по следующему принципу: подавляющее большинство голосов имеет приоритет над незначительным перевесом голосов. Согласно этой логике, победу Робеспьера над Дантоном с перевесом голосов 75 против 25 следует считать более приоритетной по сравнению с победой мадам Лафарж над Робеспьером, полученной простым большинством голосов - 60 против 40. Следовательно, Робеспьер - самый лучший кандидат, а незначительное большинство избирателей, отдающих предпочтение мадам Лафарж перед Робеспьером, - это ошибка. Таким образом, Робеспьера необходимо объявить победителем.

По иронии судьбы во Франции сейчас применяется другая система, которую часто называют выборами в два тура. Если во время первого тура выборов ни один из кандидатов не получает абсолютного большинства голосов, два кандидата с максимальным числом голосов продолжают борьбу друг с другом во втором туре. Представьте себе, что произошло бы, если бы мы применили французскую систему выборов в нашем примере с тремя кандидатами. В первом раунде лидировал бы Робеспьер, получивший 40 голосов; мадам Лафарж заняла бы второе место (35 голосов), а Дантон оказался бы последним (25 голосов).

Учитывая эти результаты, Дантон будет исключен из дальнейшей борьбы, а два других кандидата, получившие больше голосов, встретятся во втором туре. Можно предположить, что во втором туре сторонники Дантона отдадут свои голоса мадам Лафарж, которая победит в выборах с перевесом голосов 60 против 40. Это еще раз подтверждает, что процедура голосования определяет исход выборов в не меньшей степени, чем предпочтения избирателей.

Процедура, которую разработал Кондорсе, позволяет решить проблему голосования во время первичных или даже всеобщих выборов с участием трех или более кандидатов. Кондорсе предлагал определять победителя выборов посредством попарного сравнения кандидатов. При такой системе голосования президентские выборы 2000 года проходили бы так: Буш против Гора, Буш против Нейдера, Гор против Нейдера. Победителем выборов стал бы кандидат с наименьшим максимумом голосов против него.

Представьте себе, что Гор победил бы Буша с соотношением голосов 51 против 49; Гор победил Нейдера с соотношением 80 против 20, а Буш победил Нейдера с соотношением 70 против 30 голосов. В таком случае максимальное число голосов против Гора было бы 49, а это меньше максимального числа голосов против Буша (51) или Нейдера (80). По существу, Гор стал бы победителем выборов по системе Кондорсе, поскольку он превзошел остальных кандидатов в противостоянии один на один.