Сегодня мы разберемся, как решать дробные рациональные уравнения.

Посмотрим: из уравнений

(1) 2х + 5 = 3(8 – х),

(3)

(4)

дробными рациональными уравнениями являются только (2) и (4), а (1) и (3) это целые уравнения.

Предлагаю решить уравнение (4), а затем сформулировать правило.

Поскольку уравнение дробное, то надо найти общий знаменатель. В этом уравнении это выражение 6(х – 12)(х – 6). Затем мы умножаем обе части уравнения на общий знаменатель:

После сокращения получаем целое уравнение:

6(х – 6) 2 – 6(х – 12) 2 = 5(х – 12)(х – 6).

Решив это уравнение надо обязательно проверить не обращают ли полученные корни в нуль знаменатели дробей в исходном уравнении.

Раскрываем скобки:
6х 2 – 72х + 216 – 6х 2 + 144х – 864 = 5х 2 – 90х + 360, упрощаем уравнение: 5х 2 – 162х + 1008 = 0.

Находим корни уравнения
D = 6084, √D = 78,
х 1 = (162 – 78)/10= 84/10 = 8,4 и х 2 = (162 + 78)/10 = 240/10 = 24.

При х = 8,4 и 24 общий знаменатель 6(х – 12)(х – 6) ≠ 0, значит эти числа являются корнями уравнения (4).

Ответ: 8,4; 24.

Решив предложенное уравнение, приходим к следующим положениям :

1) Находим общий знаменатель.

2) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель.

3) Решаем полученное целое уравнение.

4) Проверяем, какие из корней обращают общий знаменатель в нуль и исключаем их из решения.

Посмотрим теперь на примере, как работают полученные положения.

Решить уравнение:

1) Общий знаменатель: х 2 – 1

2) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель, получаем целое уравнение: 6 – 2(х + 1) = 2(х 2 – 1) – (х + 4)(х – 1)

3) Решаем уравнение: 6 – 2х – 2 = 2х 2 – 2 – х 2 – 4х + х + 4

х 2 – х – 2 = 0

х 1 = - 1 и х 2 = 2

4) При х = -1, общий знаменатель х 2 – 1 = 0. Число -1 корнем не является.

При х = 2, общий знаменатель х 2 – 1 ≠ 0. Число 2 – корень уравнения.

Ответ : 2.

Как видите, наши положения работают. Не бойтесь, у вас все получится! Самое главное правильно найдите общий знаменатель и аккуратно выполните преобразования . Надеемся, что при решение дробных рациональных уравнений у вас всегда будут получаться правильные ответы. Если у вас остались вопросы или вы хотите попрактиковаться в решении подобных уравнений, записывайтесь на уроки к автору этой статьи, репетитору й.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Т. Косякова,
школа N№ 80, г. Краснодар

Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры

Урок 4

Тема урока:

Цель урока: формировать умение решать дробно-рациональные уравнения, содержащие параметры.

Тип урока: введение нового материала.

1. (Устно.) Решите уравнения:

Пример 1 . Решите уравнение

Решение.

Найдем недопустимые значения a :

Ответ. Если если a = – 19 , то корней нет.

Пример 2 . Решите уравнение

Решение.

Найдем недопустимые значения параметра a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a , a = 5.

Ответ. Если a = 5 a № 5 , то x=10–a .

Пример 3 . При каких значениях параметра b уравнение имеет:

а) два корня; б) единственный корень?

Решение.

1) Найдем недопустимые значения параметра b :

x = b , b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b = 0 или b = 2;
x = 2, 4(b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b = 2 или b = – 2.

2) Решим уравнение x 2 (b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D = 4b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4b 2 .

а)

Исключая недопустимые значения параметра b , получаем, что уравнение имеет два корня, если b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

б) 4b 2 = 0, b = 0, но это недопустимое значение параметра b ; если b 2 –1=0 , т. е. b =1 или.

Ответ: а) если b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , то два корня; б) если b =1 или b=–1 , то единственный корень.

Самостоятельная работа

Вариант 1

Решите уравнения:

Вариант 2

Решите уравнения:

Ответы

В-1 . а) Если a =3 , то корней нет; если б) если если a № 2 , то корней нет.

В-2. Если a =2 , то корней нет; если a =0 , то корней нет; если
б) если a =– 1 , то уравнение теряет смысл; если то корней нет;
если

Задание на дом.

Решите уравнения:

Ответы: а) Если a № –2 , то x=a ; если a =–2 , то решений нет; б) если a № –2 , то x=2 ; если a =–2 , то решений нет; в) если a =–2 , то x – любое число, кроме 3 ; если a № –2 , то x=2 ; г) если a =–8 , то корней нет; если a =2 , то корней нет; если

Урок 5

Тема урока: «Решение дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры».

Цели урока:

обучение решению уравнений с нестандартным условием;
сознательное усвоение учащимися алгебраических понятий и связей между ними.

Тип урока: систематизации и обобщения.

Проверка домашнего задания.

Пример 1 . Решите уравнение

а) относительно x; б) относительно y.

Решение.

а) Найдем недопустимые значения y : y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y ,

y=0 – недопустимое значение параметра y .

Если y № 0 , то x=y–2 ; если y=0 , то уравнение теряет смысл.

б) Найдем недопустимые значения параметра x : y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0 – недопустимое значение параметра x ; y(2+x–y)=0, y=0 или y=2+x;

y=0 не удовлетворяет условию y(y–x) № 0 .

Ответ: а) если y=0 , то уравнение теряет смысл; если y № 0 , то x=y–2 ; б) если x=0 x № 0 , то y=2+x .

Пример 2 . При каких целых значениях параметра a корни уравнения принадлежат промежутку

D = (3a + 2) 2 – 4a (a + 1)·2 = 9a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a ,

D = (a + 2) 2 .

Если a № 0 или a № – 1 , то

Ответ: 5 .

Пример 3 . Найдите относительно x целые решения уравнения

Ответ. Если y=0 , то уравнение не имеет смысла; если y=–1 , то x – любое целое число, кроме нуля; если y№ 0, y№ – 1 , то решений нет.

Пример 4. Решите уравнение с параметрами a и b .

Если a № – b , то

Ответ. Если a= 0 или b= 0 , то уравнение теряет смысл; если a № 0, b № 0, a=–b , то x – любое число, кроме нуля; если a № 0, b № 0, a № –b, то x=–a, x=–b .

Пример 5 . Докажите, что при любом значении параметра n, отличном от нуля, уравнение имеет единственный корень, равный – n .

Решение.

т. е. x=–n , что и требовалось доказать.

Задание на дом.

1. Найдите целые решения уравнения

2. При каких значениях параметра c уравнение имеет:
а) два корня; б) единственный корень?

3. Найдите все целые корни уравнения если a О N .

4. Решите уравнение 3xy – 5x + 5y = 7: а) относительно y ; б) относительно x .

1. Уравнению удовлетворяют любые целые равные значения x и y, отличные от нуля.
2. а) При
б) при или
3. – 12; – 9; 0 .
4. а) Если то корней нет; если
б) если то корней нет; если

Контрольная работа

Вариант 1

1. Определите тип уравнения 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 при: а) c=–3 ; б) c=2 ; в) c=4 .

2. Решите уравнения: а) x 2 –bx=0 ; б) cx 2 –6x+1=0 ; в)

3. Решите уравнение 3x–xy–2y=1:

а) относительно x ;
б) относительно y .

nx 2 – 26x + n = 0 , зная, что параметр n принимает только целые значения.

5. При каких значениях b уравнение имеет:

а) два корня;
б) единственный корень?

Вариант 2

1. Определите тип уравнения 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 при: а) c=–4 ; б) c=7 ; в) c=1 .

2. Решите уравнения: а) y 2 +cy=0 ; б) ny 2 –8y+2=0 ; в)

3. Решите уравнение 6x–xy+2y=5:

а) относительно x ;
б) относительно y .

4. Найдите целые корни уравнения nx 2 –22x+2n=0 , зная, что параметр n принимает только целые значения.

5. При каких значениях параметра a уравнение имеет:

а) два корня;
б) единственный корень?

Ответы

В-1. 1. а) Линейное уравнение;
б) неполное квадратное уравнение; в) квадратное уравнение.
2. а) Если b=0 , то x=0 ; если b№ 0 , то x=0, x=b ;
б) если cО (9;+Ґ ) , то корней нет;
в) если a =–4 , то уравнение теряет смысл; если a № –4 , то x=–a .
3. а) Если y=3 , то корней нет; если);
б) a =–3, a =1.

Дополнительные задания

Решите уравнения:

Литература

1. Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев Г.В. О параметрах с самого начала. – Репетитор, № 2/1991, с. 3–13.
2. Гронштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Необходимые условия в задачах с параметрами. – Квант, № 11/1991, с. 44–49.
3. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2. – М., Перспектива, 1990, с. 2–38.
4. Тынякин С.А. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами. – Волгоград, 1991.
5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М., Просвещение, 1986.

Наименьший общий знаменатель используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применим в том случае, когда нельзя записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда дано рациональное уравнение с тремя или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).

Найдите наименьший общий знаменатель дробей (или наименьшее общее кратное). НОЗ - это наименьшее число, которое делится нацело на каждый знаменатель.

• Иногда НОЗ - очевидное число. Например, если дано уравнение: х/3 + 1/2 = (3x +1)/6, то очевидно, что наименьшим общим кратным для чисел 3, 2 и 6 будет 6.
• Если НОЗ не очевиден, выпишите кратные самого большого знаменателя и найдите среди них такой, который будет кратным и для других знаменателей. Зачастую НОЗ можно найти, просто перемножив два знаменателя. Например, если дано уравнение x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, то НОЗ = 8*9 = 72.
• Если один или несколько знаменателей содержат переменную, то процесс несколько усложняется (но не становится невозможным). В этом случае НОЗ представляет собой выражение (содержащее переменную), которое делится на каждый знаменатель. Например, в уравнении 5/(х-1) = 1/х + 2/(3x) НОЗ = 3x(х-1), потому что это выражение делится на каждый знаменатель: 3x(х-1)/(х-1) = 3x; 3x(х-1)/3х = (х-1); 3x(х-1)/х = 3(х-1).

Умножьте и числитель, и знаменатель каждой дроби на число, равное результату деления НОЗ на соответствующий знаменатель каждой дроби. Так как вы умножаете и числитель, и знаменатель на одно и то же число, то фактически вы умножаете дробь на 1 (например, 2/2 = 1 или 3/3 = 1).

• Таким образом, в нашем примере умножьте х/3 на 2/2, чтобы получить 2x/6, и 1/2 умножьте на 3/3, чтобы получить 3/6 (дробь 3x +1/6 умножать не надо, так как ее знаменатель равен 6).
• Действуйте аналогично в случае, когда переменная находится в знаменателе. В нашем втором примере НОЗ = 3x(x-1), поэтому 5/(x-1) умножьте на (3x)/(3x) и получите 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x умножьте на 3(x-1)/3(x-1) и получите 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) умножьте на (x-1)/(x-1) и получите 2(x-1)/3x(x-1).

Найдите «х». Теперь, когда вы привели дроби к общему знаменателю, вы можете избавиться от знаменателя. Для этого умножьте каждую сторону уравнения на общий знаменатель. Затем решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Для этого обособьте переменную на одной из сторон уравнения.

• В нашем примере: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Вы можете сложить две дроби с одинаковым знаменателем, поэтому запишите уравнение как: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Умножьте обе части уравнения на 6 и избавьтесь от знаменателей: 2x+3 = 3x +1. Решите и получите х = 2.
• В нашем втором примере (с переменной в знаменателе) уравнение имеет вид (после приведения к общему знаменателю): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Умножив обе стороны уравнения на НОЗ, вы избавитесь от знаменателя и получите: 5(3x) = 3(х-1) + 2(х-1), или 15x = 3x - 3 + 2x -2, или 15х = х - 5. Решите и получите: х = -5/14.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

«Рациональные уравнения с многочленами» - одна из самых часто встречающихся тем в тестовых заданиях ЕГЭ по математике. По этой причине их повторению стоит уделить особое внимание. Многие ученики сталкиваются с проблемой нахождения дискриминанта, перенесения показателей из правой части в левую и приведения уравнения к общему знаменателю, из-за чего выполнение подобных заданий вызывает трудности. Решение рациональных уравнений при подготовке к ЕГЭ на нашем сайте поможет вам быстро справляться с задачами любой сложности и сдать тестирование на отлично.

Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!

Чтобы знать правила вычисления неизвестных и легко получать правильные результаты, воспользуйтесь нашим онлайн-сервисом. Портал «Школково» - это единственная в своем роде площадка, где собраны необходимые для подготовки к ЕГЭ материалы. Наши преподаватели систематизировали и изложили в понятной форме все математические правила. Кроме того, мы предлагаем школьникам попробовать силы в решении типовых рациональных уравнений, база которых постоянно обновляется и дополняется.

Для более результативной подготовки к тестированию рекомендуем следовать нашему особому методу и начать с повторения правил и решения простых задач, постепенно переходя к более сложным. Таким образом, выпускник сможет выделить для себя самые трудные темы и сделать акцент на их изучении.

Начните подготовку к итоговому тестированию со «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Выберите самый легкий пример из предложенных. Если вы быстро справились с выражением, переходите к более сложной задаче. Так вы сможете подтянуть свои знания вплоть до решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня.

Обучение доступно не только выпускникам из Москвы, но и школьникам из других городов. Уделяйте пару часов в день занятиям на нашем портале, например, и совсем скоро вы сможете справиться с уравнениями любой сложности!