Количество движения
мера механического движения, равная для материальной точки произведению её массы m
на скорость v.
К. л. mv -
величина векторная, направленная так же, как скорость точки. Иногда К. д. называют ещё импульсом. При действии силы К. д. точки изменяется в общем случае и численно и по направлению; это изменение определяется вторым (основным) законом динамики (см. Ньютона законы механики). К. д. Q механической системы равно геометрической сумме К. д. всех её точек или произведению массы М
всей системы на скорость v c
её центра масс: Q
= ∑m k v k =Mv с.
Изменение К.
д. системы происходит под действием только внешних сил, то есть сил, действующих на систему со стороны тел, в эту систему не входящих. Согласно теореме об изменении К. д. Q 1 -Q 0 = ∑S k e . где Q 0 и Q 1 - К. д. системы в начале и в конце некоторого промежутка времени, S k e -
импульсы внешних сил F k e (см. Импульс силы) за этот промежуток времени (в дифференциальной форме теорема выражается уравнением Динамика),
в частности в теории Удар а.
Для замкнутой системы, т. е. системы, не испытывающей внешних воздействий, или в случае, когда геометрическая сумма действующих на систему внешних сил равна нулю, имеет место закон сохранения К. д. При этом К. д. отдельных частей системы (например, под действием внутренних сил) могут изменяться, но так, что величина Q
= ∑m к v k
остаётся постоянной. Этот закон объясняет такие явления, как реактивное движение, отдачу (или откат) при выстреле, работу гребного винта или вёсел и др. Например, если рассматривать ружье и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет для этой системы силой внутренней и не может изменить К. д. системы, равное до выстрела нулю. Поэтому, сообщая пуле К. д. m 1 v 1 ,
направленное к дульному срезу, пороховые газы сообщат одновременно ружью численно такое же, но противоположно направленное К. д. m 2 v 2 ,
что вызовет отдачу; из равенства m 1 v 1
= m 2 v 2
(где v 1 , v 2 - численные значения скоростей) можно, зная скорость v 1 ; пули при вылете из ствола, найти наибольшую скорость v 2
отдачи (а для орудия - отката). При скоростях, близких к скорости света с, К. д., или импульс, свободной частицы определяется формулой р = mv/
β=v/c; когда vc, эта формула переходит в обычную: р = mv
(см. Относительности теория).
К. д. обладают и Поля физические
(электромагнитные, гравитационные и др.). К. д. поля характеризуются плотностью К. д. (отношением К. д. элементарного объёма к этому объёму) и выражается через напряжённость поля или его потенциал и т.д. С. М. Тарг.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Количество движения" в других словарях:
Мера механического движения, равная для материальной точки произведению ее массы m на скорость v. Количество движения mv величина векторная, направленная так же, как скорость точки. Количество движения называется также импульсом … Большой Энциклопедический словарь
- (импульс), мера механич. движения, равная для материальной точки произведению её массы т на скорость v. К. д. mv величина векторная, направленная так же, как скорость точки. Под действием силы К. д. точки изменяется в общем случае и численно, и… … Физическая энциклопедия
См. Импульс. Философский энциклопедический словарь. 2010 … Философская энциклопедия
количество движения - импульс — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия Синонимы импульс EN momentumlinear momentum … Справочник технического переводчика
Мера механического движения, равная для материальной точки произведению её массы m на скорость v. Количество движения mv величина векторная, совпадающая по направлению с вектором скорости v. Количество движения называется также импульсом. * * *… … Энциклопедический словарь
Импульс (количество движения) аддитивный интеграл движения механической системы; соответствующий закон сохранения связан с фундаментальной симметрией однородностью пространства. Содержание 1 История появления термина 2 «Школьное» определение… … Википедия
количество движения - judesio kiekis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, išreiškiamas kūno masės ir jo judėjimo greičio sandauga. atitikmenys: angl. kinetic moment; kinetic momentum; linear momentum; quantity of motion vok.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
количество движения - judesio kiekis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. kinetic momentum; momentum; quantity of motion vok. Bewegungsgröße, f; Impuls, m rus. импульс, m; количество движения, n pranc. impulsion, f; quantité de mouvement, f … Fizikos terminų žodynas
Количество движения - то же, что импульс мера механического движения, равная произведению массы тела т на его скорость v. Вектор количества движения совпадает по направлению с вектором скорости … Начала современного естествознания
Мера механич. движения, равная для материальной точки произведению её массы от на скорость v. К. д. mv величина векторная, совпадающая по направлению с вектором скорости v. К. д. наз. также импульсом … Естествознание. Энциклопедический словарь
Книги
- Настольная игра "Правила дорожного движения" (8741) , Будишевский Николай. Безопасность дорожного движения обеспечивается каждым пешеходом и водителем. С самого раннего детства надо изучить Правила Дорожного Движения и тщательно соблюдать их. Наша игра познакомит…
и механической системы
Количество
движения материальной точки – это
векторная мера механического движения,
равная произведению массы точки на ее
скорость,
.
Единица измерения количества движения
в системе СИ –
.
Количество движения механической
системы равно сумме количеств движений
всех материальных точек, образующих
систему:
.
(5.2)
Преобразуем полученную формулу
.
Согласно формуле (4.2)
,
поэтому
.
Таким образом, количество движения механической системы равно произведению ее массы на скорость центра масс:
.
(5.3)
Поскольку количество движения системы определяется движением только одной ее точки (центра масс), оно не может быть полной характеристикой движения системы. Действительно, при любом движении системы, когда ее центр масс остается неподвижным, количество движения системы равно нулю. Например, это имеет место при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс.
Введем
систему отсчетаCxyz
,
имеющую начало в центре масс механической
системыС
и движущуюся поступательно
относительно инерциальной системы
(рис. 5.1). Тогда движение каждой точки
можно рассматривать как сложное:
переносное движение вместе с осямиCxyz
и движение относительно этих осей. В
силу поступательности движения осейCxyz
переносная скорость
каждой точки равна скорости центра масс
системы, и количество движения системы,
определяемое по формуле (5.3) , характеризует
только ее поступательное переносное
движение.
5.3. Импульс силы
Для характеристики действия силы за некоторый промежуток времени используют величину, называемую импульсом силы . Элементарный импульс силы – это векторная мера действия силы, равная произведению силы на элементарный промежуток времени ее действия:
.
(5.4)
Единица
измерения импульса силы в системе СИ
равна
,
т.е. размерности импульса силы и количества
движения одинаковы.
Импульс силы
за конечный промежуток времени
равен определенному интегралу от
элементарного импульса:
.
(5.5)
Импульс постоянной силы равен произведению силы на время ее действия:
.
(5.6)
В общем случае импульс силы может быть определен по его проекциям на координатные оси:
.
(5.7)
5.4. Теорема об изменении количества движения
материальной точки
В основном
уравнении динамики (1.2) масса материальной
точки – величина постоянная, ее ускорение
,
что дает возможность записать это
уравнение в виде:
.
(5.8)
Полученное соотношение позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме:Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме (главному вектору) действующих на точку сил .
Теперь получим интегральную форму этой теоремы. Из соотношения (5.8) следует, что
.
Проинтегрируем
обе части равенства в пределах,
соответствующих моментам времени
и
,
.
(5.9)
Интегралы в правой части представляют собой импульсы сил, действующих на точку, поэтому после интегрирования левой части получим
.
(5.10)
Таким образом, доказана теорема об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме:Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов действующих на точку сил за тот же промежуток времени .
Векторному уравнению (5.10) соответствует система трех уравнений в проекциях на координатные оси:
;
;
(5.11)
.
Пример 1.
Тело движется
поступательно по наклонной плоскости,
образующей угол α с горизонтом. В
начальный момент времени оно имело
скорость
,
направленную вверх по наклонной плоскости
(рис. 5.2).
Через какое время скорость тела станет равной нулю, если коэффициент трения равен f ?
Примем
поступательно движущееся тело за
материальную точку и рассмотрим
действующие на него силы. Это сила
тяжести
,
нормальная реакция плоскости
и сила трения
.
Направим осьx
вдоль
наклонной плоскости вверх и запишем
1-е уравнение системы (5.11)
где проекции
количеств движения
,
а проекции импульсов постоянных сил
,
и
равны произведениям проекций сил на
время движения:
Так
как ускорение тела направлено вдоль
наклонной плоскости, сумма проекций на
осьy
всех действующих
на тело сил равна нулю:
,
откуда следует, что
.
Найдем силу трения
и из уравнения (5.12) получим
откуда определим время движения тела
.
Количеством движения материальной точки называется векторная величина mV, равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Вектор mV приложен к движущейся точке.
Количеством движения системы называют векторную величину Q , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы:
Вектор Q является свободным вектором. В системе единиц СИ модуль количества движения измеряется в кг м/с или Н с.
Как правило, скорости всех точек системы различны (см., например, распределение скоростей точек катящегося колеса, показанное на рис. 6.21), и поэтому непосредственное суммирование векторов в правой части равенства (17.2) является затруднительным. Найдем формулу, с помощью которой величина Q вычисляется значительно легче. Из равенства (16.4) следует, что
Взяв от обеих частей производную по времени, получим
Отсюда, учитывая равенство (17.2), находим, что
т. е. количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.
Заметим, что вектор Q, подобно главному вектору сил в статике, является некоторой обобщенной векторной характеристикой движения всей механической системы. В общем случае движения системы ее количество движения Q можно рассматривать как характеристику поступательной части движения системы вместе с ее центром масс. Если при движении системы (тела) центр масс неподвижен, то количество движения системы будет равно нулю. Таково, например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс.
Пример. Определить количество движения механической системы (рис. 17.1, а), состоящей из груза А массой т А - 2 кг, однородного блока В массой 1 кг и колеса D массой m D - 4 кг. Груз А движется со скоростью V A - 2 м/с, колесо D катится без скольжения, нить нерастяжима и невесома. Решение. Количество движения системы тел
Тело А движется поступательно и Q A =m A V A (численно Q A = 4 кг м/с, направление вектора Q A совпадает с направлением V A). Блок В совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс; следовательно, Q B - 0. Колесо D совершает плоскопараллельное
движение; его мгновенный центр скоростей находится в точке К , поэтому скорость его центра масс (точки Е) равна V E = V A /2= 1 м/с. Количество движения колеса Q D - m D V E - 4 кг м/с; вектор Q D направлен горизонтально влево.
Изобразив векторы Q A и Q D на рис. 17.1, б , находим количество движения Q системы по формуле (а). Учитывая направления и числовые значения величин, получим Q ~^Q A +Q E =4л/2~ кг м/с, направление вектора Q показано на рис. 17.1, б.
Учитывая, что a -dV/dt, уравнение (13.4) основного закона динамики можно представить в виде
Уравнение (17.4) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: в каждый момент времени производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе. (По существу это другая формулировка основного закона динамики, близкая к той, которую дал Ньютон.) Если на точку действует несколько сил, то в правой части равенства (17.4) будет равнодействующая сил, приложенных к материальной точке.
Если обе части равенства умножить на dt, то получим
Векторная величина, стоящая в правой части этого равенства, характеризует действие, оказываемое на тело силой за элементарный промежуток времени dt эту величину обозначают dS и называют элементарным импульсом силы, т. е.
Импульс S силы F за конечный промежуток времени /, - / 0 определяется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных импульсов, т. е.
В частном случае, если сила F постоянна по модулю и по направлению, то S = F(t | -/ 0) и S- F(t l - / 0). В общем случае модуль импульса силы может быть вычислен по его проекциям на координатные оси:
Теперь, интегрируя обе части равенства (17.5) при т = const, получим
Уравнение (17.9) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечной (интегральной) форме: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно импульсу действующей на точку силы (или импульсу равнодействующей всех приложенных к ней сил) за тот же промежуток времени.
При решении задач пользуются уравнениями этой теоремы в проекциях на координатные оси
Теперь рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек. Тогда для каждой точки можно применить теорему об изменении количества движения в форме (17.4), учитывая приложенные к точкам внешние и внутренние силы:
Суммируя эти равенства и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получаем
Так как по свойству внутренних сил HF k =0 и по определению количества движения ^fn k V/ c = Q , то окончательно находим
Уравнение (17.11) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: в каждый момент времени производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.
Проецируя равенство (17.11) на координатные оси, получим
Умножая обе части (17.11) на dt и интегрируя, получим
где 0, Q 0 - количества движения системы в моменты времени соответственно и / 0 .
Уравнение (17.13) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за какое-либо время равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за то же время.
В проекциях на координатные оси получим
Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия, которые выражают закон сохранения количества движения системы.
- 1. Если геометрическая ^умма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю (LF k =0), то из уравнения (17.11) следует, что при этом Q = const, т. е. вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.
- 2. Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-либо ось равна нулю (например, I e kx = 0), то из уравнений (17.12) следует, что при этом Q x = const, т. е. проекция количества движения системы на эту ось остается неизменной.
Отметим, что внутренние силы системы не участвуют в уравнении теоремы об изменении количества движения системы. Эти силы, хотя и влияют на количество движения отдельных точек системы, не могут изменить количество движения системы в целом. Учитывая это обстоятельство, при решении задач рассматриваемую систему целесообразно выбирать так, чтобы неизвестные силы (все или их часть) сделать внутренними.
Закон сохранения количества движения удобно применять в тех случаях, когда по изменению скорости одной части системы надо определить скорость другой ее части.
Задача 17.1. К тележке массой т х - 12 кг, движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, в точке А с помощью цилиндрического шарнира прикреплен невесомый стержень AD длиной /= 0,6 м с грузом D массой т 2 - 6 кг на конце (рис. 17.2). В момент времени / 0 = 0, когда скорость тележки и {) - 0,5 м/с, стержень AD начинает вращаться вокруг оси А, перпендикулярной плоскости чертежа, по закону ф = (тг/6)(3^ 2 - 1) рад (/-в секундах). Определить: u=f.
§ 17.3. Теорема о движении центра масс
Теорему об изменении количества движения механической системы можно выразить еще в другой форме, носящей название теоремы о движении центра масс.
Подставив в уравнение (17.11) равенство Q =MV C , получим
Если масса М системы постоянна, то получим
где а с - ускорение центра масс системы.
Уравнение (17.15) и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.
Проецируя равенство (17.15) на координатные оси, получим
где x c , y c , z c - координаты центра масс системы.
Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.
Обсудим полученные результаты. Предварительно напомним, что центр масс системы является геометрической точкой, расположенной подчас вне геометрических границ тела. Действующие же на механическую систему силы (внешние и внутренние) приложены ко всем материальным точкам системы. Уравнения (17.15) дают возможность определить движение центра масс системы, не определяя движения отдельных ее точек. Сопоставив уравнения (17.15) теоремы о движении центра масс и уравнения (13.5) второго закона Ньютона для материальной точки, приходим к заключению: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и как будто бы к этой точке приложены все внешние силы, действующие на систему. Таким образом, решения, которые получаем, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела.
В частности, если тело движется поступательно, то кинематические характеристики всех точек тела и его центра масс одинаковы. Поэтому поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.
Как видно из (17.15), внутренние силы, действующие на точки системы, не оказывают влияния на движение центра масс системы. Внутренние силы могут оказать влияние на движение центра масс в тех случаях, когда под их воздействием меняются внешние силы. Примеры этого будут приведены далее.
Из теоремы о движении центра масс можно получить следующие важные следствия, которые выражают закон сохранения движения центра масс системы.
1. Если геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю (LF k =0), то из уравнения (17.15) следует,
что при этом а с = 0 или V c = const, т. е. центр масс этой системы
движется с постоянной по модулю и направлению скоростью (иначе, равномерно и прямолинейно). В частном случае, если вначале центр масс был в покое (V c =0), то он и останется в покое; откуда
следует, что его положение в пространстве не изменится, т. е. r c = const.
2. Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ось х) равна нулю (?F e kx = 0), то из уравнения (17.16) следует, что при этом х с =0 или V Cx =х с = const, т. е. проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частном случае, если в начальный момент Vex = 0, то и в любой последующий момент времени это значение сохранится, а отсюда следует, что координата х с центра масс системы не изменится, т. е. х с - const.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие закон движения центра масс.
Примеры. 1. Как было отмечено, движение центра масс зависит только от внешних сил, внутренними силами изменить положение центра масс нельзя. Но внутренние силы системы могут вызвать внешние воздействия. Так, движение человека по горизонтальной поверхности происходит под действием сил трения между подошвами его обуви и поверхностью дороги. Силой своих мышц (внутренние силы) человек ногами отталкивается от поверхности дороги, отчего в точках контакта с дорогой возникает сила трения (внешняя для человека), направленная в сторону его движения.
- 2. Аналогичным образом двигается автомобиль. Внутренние силы давления в его двигателе заставляют вращаться колеса, но так как последние имеют сцепление с дорогой, то возникающие силы трения «толкают» машину вперед (в результате колеса не вращаются, а двигаются плоскопараллельно). Если же дорога будет абсолютно гладкой, то центр масс автомобиля будет неподвижен (при нулевой начальной скорости) и колеса при отсутствии трения будут пробуксовывать, т. е. совершать вращательное движение.
- 3. Движение с помощью гребного винта, пропеллера, весел происходит за счет отбрасывания некоторой массы воздуха (или воды). Если рассматривать отбрасываемую массу и движущееся тело как одну систему, то силы взаимодействия между ними, как внутренние, не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Однако каждая из частей этой системы будет двигаться, например, лодка вперед, а вода, которую отбрасывают весла, - назад.
- 4. В безвоздушном пространстве при движении ракеты «отбрасываемую массу» следует «брать с собой»: реактивный двигатель сообщает движение ракете за счет отброса назад продуктов горения топлива, которым заправлена ракета.
- 5. При спуске на парашюте можно управлять движением центра масс системы человек - парашют. Если мышечными усилиями человек подтягивает стропы парашюта так, что меняется форма его купола либо угол атаки воздушного потока, то это вызовет изменение и внешнего воздействия воздушного потока, а тем самым оказывается влияние на движение всей системы.
Задача 17.2. В задаче 17.1 (см. рис. 17.2) определить: 1) закон движения тележки х { = /)(/), если известно, что в начальный момент времени t 0 = О система находилась в покое и координата х 10 = 0; 2) ^акон изменения со временем суммарного значения нормальной реакции N(N = N" + N") горизонтальной плоскости, т. е. N=f 2 (t).
Решение. Здесь, как и в задаче 17.1, рассмотрим систему, состоящую из тележки и груза D, в произвольном положении под действием приложенных к ней внешних сил (см. рис. 17.2). Координатные оси Оху проведем так, чтобы ось х была горизонтальна, а ось у проходила через точку А 0 , т. е. место расположения точки А в момент времени t-t 0 - 0.
1. Определение закона движения тележки. Для определения х, = /,(0 воспользуемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х:
Так как все внешние силы вертикальны, то T,F e kx = 0, и, следовательно,
Проинтегрировав это уравнение, найдем, что Мх с = В, т. е. проекция скорости центра масс системы на ось х есть величина постоянная. Так как в начальный момент времени
Интегрируя уравнение Мх с = 0, получим
т. е. координата х с центра масс системы постоянна.
Запишем выражение Мх с для произвольного положения системы (см. рис. 17.2), приняв во внимание, что х А - х { , x D - х 2 и х 2 - х { - I sin ф. В соответствии с формулой (16.5), определяющей координату центра масс системы, в данном случае Мх с - т { х { + т 2 х 2 ".
для произвольного момента времени
для момента времени / () = 0, х { = 0 и
В соответствии с равенством (б) координата х с центра масс всей системы остается неизменной, т. е. хД^,) = x c (t). Следовательно, приравняв выражения (в) и (г), получим зависимость координаты х, от времени.
О т в е т: Х - 0,2 м, где t - в секундах.
2. Определение реакции N. Для определения N=f 2 (t ) составим дифференциальное уравнение движения центра масс системы в проекции на вертикальную ось у (см. рис. 17.2):
Отсюда, обозначив N= N + N", получим
По формуле, определяющей ординату у с центра масс системы, Му с = т { у х + т 2 у 2 , где у, = у С1 , у 2 = y D = У а ~ 1 cos Ф» получим
Продифференцировав это равенство два раза по времени (учитывая при этом, что у С1 и у А величины постоянные и, следовательно, их производные равны нулю), найдем
Подставив это выражение в уравнение (е), определим искомую зависимость N от t.
Ответ: N- 176,4 + 1,13,
где ф = (я/6)(3/ -1), t - в секундах, N- в ньютонах.
Задача 17.3. Электрический мотор массой т х прикреплен на горизонтальной поверхности фундамента болтами (рис. 17.3). На валу мотора под прямым углом к оси вращения закреплен одним концом невесомый стержень длиной /, на другом конце стержня насажен точечный груз А массой т 2 . Вал вращается равномерно с угловой скоростью со. Найти горизонтальное давление мотора на болты. Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из мотора и точечного груза А, в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Р х, Р 2 , реакцию фундамента в виде вертикальной силы N и горизонтальной силы R. Проведем координатную ось х горизонтально.
Чтобы определить горизонтальное давление мотора на болты (а оно будет численно равно реакции R и направлено противоположно вектору R ), составим уравнение теоремы об изменении количества движения системы в проекции на горизонтальную ось х:
Для рассматриваемой системы в ее произвольном положении, учитывая, что количество движения корпуса мотора равно нулю, получим Q x = - т 2 У А сощ. Принимая во внимание, что V A = a з/, ф = со/ (вращение мотора равномерное), получим Q x - - m 2 co/cos со/. Дифференцируя Q x по времени и подставляя в равенство (а), найдем R- m 2 co 2 /sin со/.
Заметим, что именно такие силы являются вынуждающими (см. § 14.3), при их воздействии возникают вынужденные колебания конструкций.
Упражнения для самостоятельной работы
- 1. Что называют количеством движения точки и механической системы?
- 2. Как изменяется количество движения точки, равномерно движущейся по окружности?
- 3. Что характеризует импульс силы?
- 4. Влияют ли внутренние силы системы на ее количество движения? На движение ее центра масс?
- 5. Как влияют на движение центра масс системы приложенные к ней пары сил?
- 6. При каких условиях центр масс системы находится в покое? движется равномерно и прямолинейно?
7. В неподвижной лодке при отсутствии течения воды на корме сидит взрослый человек, а на носу лодки - ребенок. В каком направлении переместится лодка, если они поменяются местами?
В каком случае модуль перемещения лодки будет большим: 1) если ребенок перейдет к взрослому на корму; 2) если взрослый перейдет к ребенку на нос лодки? Каковы будут при этих движениях перемещения центра масс системы «лодка и два человека»?
Например:
1. Определить количество движения механической системы:
Т.к. (центр масс не движется).
б) Теорема об изменении количества движения (дифференциальный вид).
Выведем ее из теоремы о движении центра масс.
Для ν -той материальной точки по второму закону Ньютона:
Так как. масса постоянна, то ее можно внести под знак производной. Получим:
Просуммировав по всем материальным точкам, получим:
Учтем, что сумма всех внутренних сил механической системы - по третьему закону Ньютона.
Получим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальном виде:
Формулировка: первая производная по времени от количества движения механической системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему, т.е. равна главному вектору всех внешних сил механической системы.
Эти формулы математически показывают, что только внешние силы влияют на движение центра масс и изменение количества движения механической системы, внутренние силы изменить количество движения или движение центра масс не могут.
в) Теорема импульсов (интегральный вид) теоремы об изменении количества движения.
Определение:
1) элементарным импульсом силы называется произведение этой силы на дифференциал времени:
2) импульсом силы за какой-либо промежуток времени называется интеграл вида:
Теорема импульсов: выводится из теоремы об изменении количества движения.
Разделяя переменные, получим:
Интегрируем:
Учитывая, что правая часть уравнения представляет собой сумму импульсов всех внешних сил, получим:
Формулировка: Изменение количества движения за какой – либо промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, приложенных к системе в этот промежуток времени.
Эта формулаозначает, что импульс силы и количество движения измеряется в одних и тех же размерностях единиц.
; , поэтому количество движения в настоящее время называют импульсом.
г) Закон сохранения количества движения:
1) Если, , то из теоремы следует, что: , .
Формулировка: если векторная сумма всех внешних сил системы равна нулю, то количество движения системы остается постоянным по величине и направлению.
2) Если, , то , .
Формулировка: если алгебраическая сумма проекций всех внешних сил системы, на какую – либо ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось остается постоянной.
4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Рассматриваемые вопросы:
Общие теоремы динамики механической системы. Теорема об изменении кинетического момента. Момент количества движения материальной точки относительно полюса: алгебраическое значение, направление вектора. Момент количества движения материальной точки относительно оси. Момент количества движения относительно начала координат. Кинетический момент механической системы относительно точки и оси. Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента. Закон сохранения кинетического момента.
4.1 Момент количества движения материальной точки относительно центра (точки, полюса).
а) Определение: моментом количества движения материальной точки относительно какого-либо центра называется векторное произведение радиус – вектора этой точки на её количества движения.
б) Направление: момент количества движения материальной точки направлен перпендикулярно плоскости траектории движения точки таким образом, чтобы с конца векторного момента можно было видеть направление скорости по отношению к моментной точке против часовой стрелки.
в) Алгебраическое значение момента количества движения точки.
Модуль момента количества движения материальной точки:
Алгебраическое значение – это произведение количества движения материальной точки на плечо, взятое со знаком плюс или минус.
Значение момента положительное, если он направлен относительно моментной точки против часовой стрелки.
Значение момента отрицательное, если он направлен относительно моментной точки по часовой стрелке.
Значение момента равно нулю, если моментная точка лежит на линии скорости.
4.2 Момент количества движения относительно оси.
а) Определение: моментом количества движения точки относительно оси называется проекция на эту ось векторного момента количества движения, вычисленного относительно какой – либо точки, лежащей на этой оси.
Алгебраическое значение аналогично:
Значение момента количества движения положительное, если он направлен против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси.
Значение момента количества движения отрицательное, если он направлен по часовой стрелке, если смотреть с положительного направления оси.
Значение момента количества движения равно нулю, если скорость направлена параллельно оси или пересекает эту ось.
Проекции на оси координат:
4.3 Кинетический момент механической системы относительно полюса и оси.
а) Кинетический момент механической системы относительно полюса.
Кинетическим моментом механической системы относительно центра (полюса, точки) называется векторная сумма моментов количества движения всех точек системы относительно этого же центра:
б) Кинетический момент механической системы относительно оси:
Кинетическим моментом механической системы относительно оси называется алгебраическая сумма моментов количества движения всех его точек относительно этой же оси:
Кинетический момент механической системы относительно оси Z:
Таким образом - кинетический момент механической системы это главный момент количества движения системы.
4.4 Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения.
Рассмотрим тело вращения. Рассмотрим движение материальной точки, масса которой m ν , а линейная скорость .
По определению кинетического момента относительно полюса:
Кинетический момент направлен перпендикулярно радиус-вектору ().
Спроектировав кинетический момент на ось , получим:
Учитывая, что при вращательном движении линейная скорость определяется по формуле Эйлера, получим:
Модуль скорости точки при вращательном движении:
где , сos (90 0 - ) =sin
Подставив (98) в формулу (96), получим:
Кинетический момент относительно оси вращения определяется по формуле:
4.5 Вывод теоремы об изменении кинетического момента.
По второму закону Ньютона для ν -той точки:
Умножив обе части равенства почленно, векторно на , получим:
Преобразуем:
Суммируя по ν т.е. по всем материальным точкам механической системы получим:
Слева под знаком суммы получаем кинетический момент механической системы относительно полюса О:
Справа под знаком суммы получаем сумму моментов всех внешних и внутренних сил механической системы относительно полюса О:
По третьему закону Ньютона сумма моментов всех внутренних сил относительно полюса О равна нулю,
Тогда получим теорему в виде:
Формулировка: первая производная от кинетического момента по времени, относительно какого – либо центра равна векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно этого же центра.
Теорема об изменении кинетического момента относительно оси вращения:
Формулировка: первая производная по времени от кинетического момента, относительно какой – либо оси равна алгебраической сумме моментов всех внешних сил системы относительно этой же оси.
Кинетический момент для твердого тела относительно оси вращения:
.2) Если , то .
Формулировка : если алгебраическая сумма моментов всех внешних сил системы, относительно какой – либо оси равна нулю, то кинетический момент относительно этой оси остается постоянным.
Например:
При вращении фигуриста на льду все действующие силы параллельны оси Z , а это значит, что кинетический момент относительно оси Z равен нулю.
Для увеличения угловой скорости фигурист прижимает руки к туловищу, тем самым уменьшая момент инерции тела относительно оси вращения.
Для уменьшения угловой скорости фигурист расставляет руки в стороны, тем самым увеличивая момент инерции тела относительно оси вращения.
5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И
- 1. Алгебраический момент количества движения относительно центра. Алгебраический О -- скалярная величина, взятая со знаком (+) или (-) и равная произведению модуля количества движения m на расстояние h (перпендикуляр) от этого центра до линии, вдоль которой направлен вектор m :
- 2. Векторный момент количества движения относительно центра.
Векторный момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра О -- вектор, приложенный в этом центре и направленный перпендикулярно плоскости векторов m и в ту сторону, откуда движение точки видно против хода часовой стрелки. Это определение удовлетворяет векторному равенству
Моментом количества движения материальной точки относительно некоторой оси z называется скалярная величина, взятая со знаком (+) или (-) и равная произведению модуля проекции вектора количества движения на плоскость, перпендикулярную этой оси, на перпендикуляр h, опущенный из точки пересечения оси с плоскостью на линию, вдоль которой направлена указанная проекция:
Кинетический момент механической системы относительно центра и оси
1. Кинетический момент относительно центра.
Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторого центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно того же центра.
2. Кинетический момент относительно оси.
Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторой оси называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно той же оси.
3. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью.
Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси
1. Теорема моментов относительно центра.
Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра равна моменту силы, действующей на точку, относительно того же центра
2. Теорема моментов относительно оси.
Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой оси равна моменту силы, действующей на точку, относительно той же оси
Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси
Теорема моментов относительно центра.
Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра;
Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторого центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра не изменяется (закон сохранения кинетического момента).
2. Теорема моментов относительно оси.
Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой оси
Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси не изменяется.
Например, = 0, тогда L z = const.
Работа и мощность сил
Работа силы -- скалярная мера действия силы.
1. Элементарная работа силы.
Элементарная работа силы -- это бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы: ; - приращение радиуса-вектора точки приложения силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещение точки по траектории совпадает с в силу их малости. Поэтому
если то dA > 0;если, то dA = 0;если , то dA < 0.
2. Аналитическое выражение элементарной работы.
Представим векторы и d через их проекции на оси декартовых координат:
, . Получим (4.40)
3. Работа силы на конечном перемещении равна интегральной сумме элементарных работ на этом перемещении
Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещается прямолинейно,
4. Работа силы тяжести. Используем формулу:Fx = Fy = 0; Fz = -G = -mg;
где h- перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).
При перемещении точки приложения силы тяжести вверх A 12 = -mgh (точка М 1 -- внизу, M 2 -- вверху).
Итак,. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории (M 2 совпадает с М 1 ) работа равна нулю.
5. Работа силы упругости пружины.
Пружина растягивается только вдоль оси х:
F y = F z = О, F x = = -сх;
где - величина деформации пружины.
При перемещении точки приложения силы из нижнего положения в верхнее направление силы и направление перемещения совпадают, тогда
Поэтому работа силы упругости
Работа сил на конечном перемещении; Если = const, то
где - конечный угол поворота; , где п -- число оборотов тела вокруг оси.
Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Теорема Кенига
Кинетическая энергия - скалярная мера механического движения.
Кинетическая энергия материальной точки - скалярная положительная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости,
Кинетическая энергия механической системы -- арифметическая сумма кинетических энергий всех материал точек этой системы:
Кинетическая энергия системы, состоящей из п связанных между собой тел, равна арифметической сумме кинетических энергий всех тел этой системы:
Теорема Кенига
Кинетическая энергия механической системы в общем случае ее движения равна сумме кинетической энергии движения системы вместе с центром масс и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс:
где Vkc -- скорость k- й точки системы относительно центра масс.
Кинетическая энергия твердого тела при различном движении
Поступательное движение.
Вращение тела вокруг неподвижной оси . ,где -- момент инерции тела относительно оси вращения.
3. Плоскопараллельное движение. , где - момент инерции плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр масс.
При плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс, ;
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
Теорема в дифференциальной форме.
Дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на точку,
Теорема в интегральной (конечной) форме.
Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
Теорема в дифференциальной форме.
Дифференциал от кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на систему.
Теорема в интегральной {конечной) форме.
Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на том же перемещении. ; Для системы твердых тел = 0 (по свойству внутренних сил). Тогда
Закон сохранения механической энергии материальной точки и механической системы
Если на материальную точку или механическую систему действуют только консервативные силы, то в любом положении точки или системы сумма кинетической и потенциальной энергий остается величиной постоянной.
Для материальной точки
Для механической системы Т+ П= const
где Т+ П -- полная механическая энергия системы.
Динамика твердого тела
Дифференциальные уравнения движения твердого тела
Эти уравнения можно получить из общих теорем динамики механической системы.
1. Уравнения поступательного движения тела -- из теоремы о движении центра масс механической системы В проекциях на оси декартовых координат
2. Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси - из теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно оси, например, относительно оси
Так как кинетический момент L z твердого тела относительно оси, то если
Так как или, то уравнение можно записать в виде или,форма записи уравнения зависит от того, что следует определить в конкретной задаче.
Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела представляют собой совокупность уравнений поступательного движения плоской фигуры вместе с центром масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс:
Физический маятник
Физическим маятником называется твердое тело, вращающееся вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела, и движущееся под действием силы тяжести.
Дифференциальное уравнение вращения
В случае малых колебаний.
Тогда, где
Решение этого однородного уравнения.
Пусть при t=0 Тогда
-- уравнение гармонических колебаний.
Период колебаний маятника
Приведенная длина физического маятника -- это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника.