Непрерывность функции. Непрерывность функций – теоремы и свойства Функция ее непрерывность

Приводятся определения и формулировки основных теорем и свойств непрерывной функции одной переменной. Рассмотрены свойства непрерывной функции в точке, на отрезке, предел и непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва. Даны определения и теоремы, связанные с обратной функцией. Изложены свойства элементарных функций.

Содержание

Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений . Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.
Введем новую функцию:
.
Ее называют приращением функции в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.

Определение непрерывности справа (слева)
Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x 0 , если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x 0 равен значению функции в x 0 :
.

Теорема об ограниченности непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке x 0 . Тогда существует такая окрестность U(x 0) , на которой функция ограничена.

Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция непрерывна в точке . И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
.
Тогда существует такая окрестность точки , на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
при .

Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции и непрерывны в точке .
Тогда функции , и непрерывны в точке .
Если , то и функция непрерывна в точке .

Свойство непрерывности слева и справа
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.

Доказательства свойств приводятся на странице «Свойства непрерывных в точке функций ».

Непрерывность сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция непрерывна в точке . И пусть функция непрерывна в точке .
Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Предел сложной функции

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции при , и он равен :
.
Здесь точка t 0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция непрерывна в точке .
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки . Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.

Точки разрыва

Определение точки разрыва
Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется одно из двух условий:
1) не определена в ;
2) определена в , но не является в этой точке.

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода , если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва , если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва - это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка называется точкой разрыва второго рода , если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и в точках a и b , соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .

Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.

Теорема Больцано - Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
.

Следствие 1
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю:
.

Следствие 2
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .

Обратные функции

Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y . И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X , для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
.

Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .

Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Если функция строго возрастает (убывает) , то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).

Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции . Для убывающей - .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции .
Для убывающей: .

Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.

Свойства и непрерывность элементарных функций

Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.

Показательная функция

Показательная функция f(x) = a x , с основанием a > 0 - это предел последовательности
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x :
.

Теорема. Свойства показательной функции
Показательная функция имеет следующие свойства:
(П.0) определена, при , для всех ;
(П.1) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(П.2) строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ;
(П.3) ;
(П.3*) ;
(П.4) ;
(П.5) ;
(П.6) ;
(П.7) ;
(П.8) непрерывна для всех ;
(П.9) при ;
при .

Логарифм

Логарифмическая функция, или логарифм, y = log a x , с основанием a - это функция, обратная к показательной функции с основанием a .

Теорема. Свойства логарифма
Логарифмическая функция с основанием a , y = log a x , имеет следующие свойства:
(Л.1) определена и непрерывна, при и , для положительных значений аргумента,;
(Л.2) имеет множество значений ;
(Л.3) строго возрастает при , строго убывает при ;
(Л.4) при ;
при ;
(Л.5) ;
(Л.6) при ;
(Л.7) при ;
(Л.8) при ;
(Л.9) при .

Экспонента и натуральный логарифм

В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a , которая называется основанием степени или основанием логарифма. В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e :
.
Показательную функцию с основанием e называют экспонентой: , а логарифм по основанию e - натуральным логарифмом: .

Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах
«Экспонента, е в степени х »,
«Натуральный логарифм, функция ln x »

Степенная функция

Степенная функция с показателем степени p - это функция f(x) = x p , значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p .
Кроме этого, f(0) = 0 p = 0 при p > 0 .

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m , степенная функция определена и для отрицательных x . В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики ».

Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)
Степенная функция, y = x p , с показателем p имеет следующие свойства:
(С.1) определена и непрерывна на множестве
при ,
при ».

Тригонометрические функции

Теорема о непрерывности тригонометрических функций
Тригонометрические функции: синус (sin x ), косинус (cos x ), тангенс (tg x ) и котангенс (ctg x

Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций
Обратные тригонометрические функции: арксинус (arcsin x ), арккосинус (arccos x ), арктангенс (arctg x ) и арккотангенс (arcctg x ), непрерывны на своих областях определения.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

См. также:

Пусть точка a принадлежит области задания функции f(x) и любая ε -окрестность точки a содержит отличные от a точки области задания функции f(x) , т.е. точка a является предельной точкой множества {x} , на котором задана функция f(x) .

Определение . Функция f(x) называется непрерывной в точке a , если функция f(x) имеет в точке a предел и этот предел равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .

Из этого определения имеем следующее условие непрерывности функции f(x) в точке a :

Так как , то мы можем записать

Следовательно, для непрерывной в точке a функции символ предельного перехода и символ f характеристики функции можно менять местами.

Определение . Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке a , если правый (левый) предел этой функции в точке a существует и равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .

Тот факт, что функция f(x) непрерывна в точке a справа записывают так:

А непрерывность функции f(x) в точке a слева записывают как:

Замечание . Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

Теорема . Пусть на одном и том же множестве заданы функции f(x) и g(x) , непрерывные в точке a . Тогда функции f(x)+g(x) , f(x)-g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) - непрерывны в точке a (в случае частного нужно дополнительно требовать g(a) ≠ 0 ).

Непрерывность основных элементарных функций

1) Степенная функция y=x n при натуральном n непрерывна на всей числовой прямой.

Сначала рассмотрим функцию f(x)=x . По первому определению предела функции в точке a возьмем любую последовательность {x n } , сходящуюся к a , тогда соответствующая последовательность значений функций {f(x n)=x n } также будет сходиться к a , то есть , то есть функция f(x)=x непрерывная в любой точек числовой прямой.

Теперь рассмотрим функцию f(x)=x n , где n - натуральное число, тогда f(x)=x · x · … · x . Перейдем к пределу при x → a , получим , то есть функция f(x)=x n непрерывна на числовой прямой.

2) Показательная функция.

Показательная функция y=a x при a>1 является непрерывной функцией в любой точке бесконечной прямой.

Показательная функция y=a x при a>1 удовлетворяет условиям:

3) Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция непрерывна и возрастает на всей полупрямой x>0 при a>1 и непрерывна и убывает на всей полупрямой x>0 при 0, причем

4) Гиперболические функции.

Гиперболическими функциями называются следующие функции:

Из определения гиперболических функции следует, что гиперболический косинус, гиперболический синус и гиперболический тангенс заданы на всей числовой оси, а гиперболический котангенс определен всюду на числовой оси, за исключением точки x=0 .
Гиперболические функции непрерывны в каждой точке области их задания (это следует из непрерывности показательной функции и теоремы об арифметических действиях).
5) Степенная функция
Степенная функция y=x α =a α log a x непрерывна в каждой точке открытой полупрямой x>0 .
6) Тригонометрические функции.
Функции sin x и cos x непрерывны в каждой точке x бесконечной прямой. Функция y=tg x (kπ-π/2,kπ+π/2) , а функция y=ctg x непрерывна на каждом из интервалов ((k-1)π,kπ) (здесь всюду k - любое целое число, т.е. k=0, ±1, ±2, …) .
7) Обратные тригонометрические функции.
Функции y=arcsin x и y=arccos x непрерывны на отрезке [-1, 1] . Функции y=arctg x и y=arcctg x непрерывны на бесконечной прямой.
Два замечательных предела

Теорема . Предел функции (sin x)/x в точке x=0 существует и равен единице, т.е.
Этот предел называется первым замечательным пределом .
Доказательство . При 0 справедливы неравенства 0<\sin x. Разделим эти неравенства на sin x , тогда получим
Эти неравенства справедливы также и для значений x , удовлетворяющих условиям -π/2. Это следует из того, что cos x=cos(-x) и . Так как cos x - непрерывная функция, то . Таким образом, для функций cos x , 1 и в некоторой δ -окрестности точки x=0 выполняются все условия теорем. Следовательно, .
Теорема . Предел функции при x → ∞ существует и равен числу e :
Этот предел называется вторым замечательным пределом .
Замечание . Верно также, что
Непрерывность сложной функции

Теорема . Пусть функция x=φ(t) непрерывна в точке a , а функция y=f(x) непрерывна в точке b=φ(a) . Тогда сложная функция y=f[φ(t)]=F(t) непрерывна в точке a .
Пусть x=φ(t) и y=f(x) - простейшие элементарные функции, причем множество значений {x} функции x=φ(t) является областью задания функции y=f(x) . Как мы знаем, элементарные функции непрерывны в каждой точке области задания. Поэтому по предыдущей теореме сложная функция y=f(φ(t)) , то есть суперпозиция двух элементарных функций, непрерывна. Например, функция непрерывна в любой точке x ≠ 0 , как сложная функция от двух элементарных функций x=t -1 и y=sin x . Также функция y=ln sin x непрерывна в любой точке интервалов (2kπ,(2k+1)π) , k ∈ Z (sin x>0 ).

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х 0 , называется непрерывной в точке х 0 , если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе:
Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х 0 , но не является непрерывной в самой точке х 0 , то она называется разрывной функцией, а точка х 0 – точкой разрыва.
Пример непрерывной функции:
y
0 x 0 - x 0 x 0 + x
Пример разрывной функции:
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х 0 , если для любого положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию
верно неравенство
.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х 0 , если приращение функции в точке х 0 является бесконечно малой величиной.
f(x) = f(x 0) + (x)
где (х) – бесконечно малая при хх 0 .
Свойства непрерывных функций.
1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х 0 функций – есть функция, непрерывная в точке х 0 .
2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х 0 .
3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Это свойство может быть записано следующим образом:
Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х 0 , то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.
Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.
Непрерывность некоторых элементарных функций.
1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.
2) Рациональная функция
непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.
3) Тригонометрические функции sinиcosнепрерывны на своей области определения.
Докажем свойство 3 для функции y = sinx.
Запишем приращение функции y = sin(x + x) – sinx, или после преобразования:
Действительно, имеется предел произведения двух функций
и
. При этом функция косинус – ограниченная функция прих0
, а т.к.
предел функции синус
, то она является бесконечно малой прих0.
Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция у – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х 0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.
Точки разрыва и их классификация.
Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х 0 , за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х 0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

, то функция называется непрерывной справа.
Если односторонний предел (см. выше)
, то функция называется непрерывной слева.
Определение. Точка х 0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х 0 или не является непрерывной в этой точке.
Определение. Точка х 0 называется точкой разрыва 1- го рода , если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х 0 , достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.
Определение. Точка х 0 называется точкой разрыва 2 – го рода , если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Непрерывность функции на интервале и на отрезке.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке) , если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).
При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие –M  f(x)  M.
Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х 0 , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х 0 , то образуется некоторая окрестность точки х 0 .
Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Т.е. существуют такие значения х 1 и х 2 , что f(x 1) = m, f(x 2) = M, причем
m  f(x)  M
Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx).
Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.
Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.
Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х 0 , то существует некоторая окрестность точки х 0 , в которой функция сохраняет знак.
Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.
Т.е. если sign(f(a))  sign(f(b)), то  х 0: f(x 0) = 0.
Пример.

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода
у
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.
Определение 1
Функция f (x) является непрерывной в точке x 0 , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x 0 , т.е.: lim x → x 0 - 0 f (x) = lim x → x 0 + 0 f (x) = f (x 0)

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.
Пример 1
Дана функция f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 . Необходимо доказать ее непрерывность в точке х 0 = 2 .

Решение

В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 · (х n < 2) . Например, такой последовательностью может быть:

2 , 0 , 1 , 1 1 2 , 1 3 4 , 1 7 8 , 1 15 16 , . . . , 1 1023 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

f (- 2) ; f (0) ; f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 . 667 ; 2 . 667 ; 0 . 167 ; - 0 . 958 ; - 1 . 489 ; - 1 . 747 ; - 1 . 874 ; . . . ; - 1 . 998 ; . . . → - 2

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к - 2 , значит lim x → 2 - 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 (х n > 2) . Например, такой последовательностью может быть:

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность функций:

f (6) ; f (4) ; f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 1 4 ; f 2 1 8 ; f 2 1 16 ; . . . ; f 2 1 1024 ; . . . = = - 7 . 333 ; - 5 . 333 ; - 3 . 833 ; - 2 . 958 ; - 2 . 489 ; - 2 . 247 ; - 2 . 247 ; - 2 . 124 ; . . . ; - 2 . 001 ; . . . → - 2

на рисунке обозначена синим цветом.

И эта последовательность сводится к - 2 , тогда lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f (x) = 1 6 x - 8 2 - 8 в точке х 0 = 2 , при этом lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

lim x → 2 - 0 f (x) = lim x → 2 + 0 f (x) = f (2) = 1 6 (2 - 8) 2 - 8 = - 2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.

Покажем графически:

Ответ: Непрерывность функции f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в заданной части доказано.

Устранимый разрыв первого рода
Определение 2
Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:

lim x → x 0 - 0 f (x) = lim x → x 0 + 0 f (x) ≠ f (x 0)
Пример 2
Задана функция f (x) = x 2 - 25 x - 5 . Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.

Решение

Сначала обозначим область определения функции: D (f (x)) ⇔ D x 2 - 25 x - 5 ⇔ x - 5 ≠ 0 ⇔ x ∈ (- ∞ ; 5) ∪ (5 ; + ∞)

В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х 0 = 5 . Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.

Выражение x 2 - 25 x - 5 упростим: x 2 - 25 x - 5 = (x - 5) (x + 5) x - 5 = x + 5 .

Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g (x) = x + 5 является непрерывной при любом действительном x , тогда:

lim x → 5 - 0 (x + 5) = 5 + 5 = 10 lim x → 5 + 0 (x + 5) = 5 + 5 = 10

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.
Определение 3 Пример 3
Задана кусочно-непрерывная функция f (x) = x + 4 , x < - 1 , x 2 + 2 , - 1 ≤ x < 1 2 x , x ≥ 1 . Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Решение

Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х 0 = - 1 или в точке х 0 = 1 .

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

слева от точки х 0 = - 1 заданная функция есть f (x) = x + 4 , тогда в силу непрерывности линейной функции: lim x → - 1 - 0 f (x) = lim x → - 1 - 0 (x + 4) = - 1 + 4 = 3 ;

непосредственно в точке х 0 = - 1 функция принимает вид: f (x) = x 2 + 2 , тогда: f (- 1) = (- 1) 2 + 2 = 3 ;

на промежутке (- 1 ; 1) заданная функция есть: f (x) = x 2 + 2 . Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: lim x → - 1 + 0 f (x) = lim x → - 1 + 0 (x 2 + 2) = (- 1) 2 + 2 = 3 lim x → 1 - 0 f (x) = lim x → 1 - 0 (x 2 + 2) = (1) 2 + 2 = 3

в точке х 0 = - 1 функция имеет вид: f (x) = 2 x и f (1) = 2 · 1 = 2 .

справа от точки х 0 заданная функция есть f (x) = 2 x . В силу непрерывности линейной функции: lim x → 1 + 0 f (x) = lim x → 1 + 0 (2 x) = 2 · 1 = 2

Ответ: в конечном счете мы получили:

lim x → - 1 - 0 f (x) = lim x → - 1 + 0 f (x) = f (- 1) = 3 - это означает, что в точке х 0 = - 1 заданная кусочная функция непрерывна;

lim x → - 1 - 0 f (x) = 3 , lim x → 1 + 0 f (x) = 2 - таким образом, в точке х 0 = 1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Определение 4
Функция имеет разрыв второго рода в точке х 0 , когда какой-либо из пределов слева lim x → x 0 - 0 f (x) или справа lim x → x 0 + 0 f (x) не существует или бесконечен.
Пример 4
Задана функция f (x) = 1 x . Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.

Решение

Запишем область определения функции: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) .

Найдем пределы справа и слева от точки х 0 = 0 .

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:

8 ; - 4 ; - 2 ; - 1 ; - 1 2 ; - 1 4 ; . . . ; - 1 1024 ; . . .

Ей соответствует последовательность значений функции:

f (- 8) ; f (- 4) ; f (- 2) ; f (- 1) ; f - 1 2 ; f - 1 4 ; . . . ; f - 1 1024 ; . . . = = - 1 8 ; - 1 4 ; - 1 2 ; - 1 ; - 2 ; - 4 ; . . . ; - 1024 ; . . .

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда lim x → 0 - 0 f (x) = lim x → 0 - 0 1 x = - ∞ .

Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 справа. К примеру: 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 ; . . . ; 1 1024 ; . . . , и ей соответствует последовательность значений функции:

f (8) ; f (4) ; f (2) ; f (1) ; f 1 2 ; f 1 4 ; . . . ; f 1 1024 ; . . . = = 1 8 ; 1 4 ; 1 2 ; 1 ; 2 ; 4 ; . . . ; 1024 ; . . .

Эта последовательность - бесконечно большая положительная, а значит lim x → 0 + 0 f (x) = lim x → 0 + 0 1 x = + ∞ .

Ответ : точка х 0 = 0 - точка разрыва функции второго рода.

Проиллюстрируем:

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определение. Пусть функция у = f(x) определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке x0 , если:
1. существует
2. этот предел равен значению функции в точке x0:
При определении предела подчёркивалось, что f(x) может быть не определена в точке x0, а если она определена в этой точке, то значение f(x0) никак не участвует в определении предела. При определении непрерывности принципиально, что f(x0) существует, и это значение должно быть равно lim f(x).
Определение. Пусть функция у = f(х) определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если для всех ε>0 существует положительное число δ, такое что для всех x из δ-окрестности точки x0 (т.е. |х-x0|
Здесь учитывается, что значение предела должно быть равно f(x0), поэтому, по сравнению с определением предела, снято условие проколотости δ-окрестности 0
Дадим ещё одно (равносильное предыдущим) определение в терминах приращений. Обозначим Δх = x - x0, эту величину будем называть приращением аргумента. Так как х->x0, то Δх->0, т е. Δх - б.м. (бесконечно малая) величина. Обозначим Δу = f(х)-f(x0), эту величину будем называть приращением функции, так как |Δу| должно быть (при достаточно малых |Δх|) меньше произвольного числа ε>0, то Δу- тоже б.м. величина, поэтому
Определение. Пусть функция у = f(х) определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Функция f(х) называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Определение. Функция f(х), не являющаяся непрерывной в точке x0, называется разрывной в этой точке.
Определение. Функция f(х) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Теорема о непрерывности суммы, произведения, частного

Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции

Теорема о непрерывности суперпозиции непрерывных функций
Пусть функция f(x) определена на отрезке и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.
Теорема о промежуточном значении. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и в двух точках а и b (a меньше b) принимает неравные значения A = f(a) ≠ В = f(b), то для любого числа С, лежащего между А и В, найдётся точка c ∈ , в которой значение функции равно С: f(c) = C.
Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема о достижении минимального и максимального значений. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои нижнюю и верхнюю грани.
Теорема о непрерывности обратной функции. Пусть функция y=f(x) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке [а,b]. Тогда на отрезке существует обратная функция х = g(y), также монотонно возрастающая (убывающая) на и непрерывная.