Данная статья подробно рассказывает об основных свойствах определенного интеграла. Они доказываются при помощи понятия интеграла Римана и Дарбу. Вычисление определенного интеграла проходит, благодаря 5 свойствам. Оставшиеся из них применяются для оценивания различных выражений.
Перед переходом к основным свойствам определенного интеграла, необходимо удостовериться в том, что a не превосходит b .
Основные свойства определенного интеграла
Определение 1Функция y = f (x) , определенная при х = а, аналогично справедливому равенству ∫ a a f (x) d x = 0 .
Доказательство 1
Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма σ для любого разбиения на промежутке [ a ; a ] и любого выбора точек ζ i равняется нулю, потому как x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , значит, получаем, что предел интегральных функций – ноль.
Определение 2
Для функции, интегрируемой на отрезке [ a ; b ] , выполняется условие ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x .
Доказательство 2
Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки х = b .
Определение 3
∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x применяется для интегрируемых функций типа y = f (x) и y = g (x) , определенных на отрезке [ a ; b ] .
Доказательство 3
Записать интегральную сумму функции y = f (x) ± g (x) для разбиения на отрезки с данным выбором точек ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g
где σ f и σ g являются интегральными суммами функций y = f (x) и y = g (x) для разбиения отрезка. После перехода к пределу при λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 получаем, что lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .
Из определения Римана это выражение является равносильным.
Определение 4
Вынесение постоянного множителя за знак определенного интеграла. Интегрируемая функция из интервала [ a ; b ] с произвольным значением k имеет справедливое неравенство вида ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .
Доказательство 4
Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему:
σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x
Определение 5
Если функция вида y = f (x) интегрируема на интервале x с a ∈ x , b ∈ x , получаем, что ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .
Доказательство 5
Свойство считается справедливым для c ∈ a ; b , для c ≤ a и c ≥ b . Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.
Определение 6
Когда функция имеет возможность быть интегрируемой из отрезка [ a ; b ] , тогда это выполнимо для любого внутреннего отрезка c ; d ∈ a ; b .
Доказательство 6
Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться, а верхняя не будет увеличиваться.
Определение 7
Когда функция интегрируема на [ a ; b ] из f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 при любом значении x ∈ a ; b , тогда получаем, что ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .
Свойство может быть доказано при помощи определения интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек ζ i с условием, что f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 , получаем неотрицательной.
Доказательство 7
Если функции y = f (x) и y = g (x) интегрируемы на отрезке [ a ; b ] , тогда следующие неравенства считаются справедливыми:
∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , е с л и f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , е с л и f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b
Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.
Определение 8
При интегрируемой функции y = f (x) из отрезка [ a ; b ] имеем справедливое неравенство вида ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .
Доказательство 8
Имеем, что - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно и ему соответствует неравенство вида - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Данное двойное неравенство может быть записано в другой форме: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .
Определение 9
Когда функции y = f (x) и y = g (x) интегрируются из отрезка [ a ; b ] при g (x) ≥ 0 при любом x ∈ a ; b , получаем неравенство вида m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , где m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) .
Доказательство 9
Аналогичным образом производится доказательство. M и m считаются наибольшим и наименьшим значением функции y = f (x) , определенной из отрезка [ a ; b ] , тогда m ≤ f (x) ≤ M . Необходимо умножить двойное неравенство на функцию y = g (x) , что даст значение двойного неравенства вида m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . Необходимо проинтегрировать его на отрезке [ a ; b ] , тогда получим доказываемое утверждение.
Следствие: При g (x) = 1 неравенство принимает вид m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .
Первая формула среднего значения
Определение 10При y = f (x) интегрируемая на отрезке [ a ; b ] с m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) имеется число μ ∈ m ; M , которое подходит ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .
Следствие: Когда функция y = f (x) непрерывная из отрезка [ a ; b ] , то имеется такое число c ∈ a ; b , которое удовлетворяет равенству ∫ a b f (x) d x = f (c) · b - a .
Первая формула среднего значения в обобщенной форме
Определение 11Когда функции y = f (x) и y = g (x) являются интегрируемыми из отрезка [ a ; b ] с m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) , а g (x) > 0 при любом значении x ∈ a ; b . Отсюда имеем, что есть число μ ∈ m ; M , которое удовлетворяет равенству ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .
Вторая формула среднего значения
Определение 12Когда функция y = f (x) является интегрируемой из отрезка [ a ; b ] , а y = g (x) является монотонной, тогда имеется число, которое c ∈ a ; b , где получаем справедливое равенство вида ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(x) или дифференциала df= f’(x) dx функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x ) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)= f(x) или dF(x)= F’(x) dx= f(x) dx.
Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..
Определение. Функция F(x), , называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’(x)= f(x) или dF(x)= f(x) dx.
Теорема. Любая непрерывная на отрезке [ a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).
Теорема. Если F 1 (x) и F 2 (x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F 2 (x)= F 1 x)+ C, где С – постоянная .
- Неопределенный интеграл, его свойства.
Определение. Совокупность F(x)+ C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:
- (1)В формуле (1) f(x) dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования.
Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.
1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
и .2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
5. Если F(x) – первообразная функции f(x), то:
6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:
где u – дифференцируемая функция.
- Таблица неопределенных интегралов.
Приведем основные правила интегрирования функций.
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную (u= x) , так и функцию от независимой переменной (u= u(x)) .)
(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|). (|u| < |a|).
Интегралы 1 – 17 называют табличными.
Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.
- Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл
, который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=φ(t), откуда dx=φ’(t) dt.Теорема. Пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(
В этой статье мы перечислим основные свойства определенного интеграла. Большинство этих свойств доказываются на основе понятий определенного интеграла Римана и Дарбу .
Вычисление определенного интеграла очень часто проводится с использованием первых пяти свойств, так что мы будем при надобности на них ссылаться. Остальные свойства определенного интеграла, в основном, применяются для оценки различных выражений.
Прежде чем перейти к основным свойствам определенного интеграла , условимся, что a не превосходит b .
Для функции y = f(x) , определенной при x = a , справедливо равенство .
То есть, значение определенного интеграла с совпадающими пределами интегрирования равно нулю. Это свойство является следствием определения интеграла Римана, так как в этом случае каждая интегральная сумма для любого разбиения промежутка и любого выбора точек равна нулю, так как , следовательно, пределом интегральных сумм является ноль.
Для интегрируемой на отрезке
функции выполняется 
.
Другими словами, при перемене верхнего и нижнего пределов интегрирования местами значение определенного интеграла меняется на противоположное. Это свойство определенного интеграла также следует из понятия интеграла Римана, только нумерацию разбиения отрезка следует начинать с точки x = b .
для интегрируемых на отрезке
функций y = f(x)
и y = g(x)
.
Доказательство.
Запишем интегральную сумму функции 
для данного разбиения отрезка и данного выбора точек :
где и - интегральные суммы функций y = f(x)
и y = g(x)
для данного разбиения отрезка соответственно.
Переходя к пределу при 
получим , что по определению интеграла Римана равносильно утверждению доказываемого свойства.
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. То есть, для интегрируемой на отрезке
функции y = f(x)
и произвольного числа k
справедливо равенство 
.
Доказательство этого свойства определенного интеграла абсолютно схоже с предыдущим:
Пусть функция y = f(x)
интегрируема на интервале X
, причем 
и , тогда 
.
Это свойство справедливо как для , так и для или .
Доказательство можно провести, опираясь на предыдущие свойства определенного интеграла.
Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на любом внутреннем отрезке .
Доказательство основано на свойстве сумм Дарбу: если к имеющемуся разбиению отрезка добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу не уменьшится, а верхняя – не увеличиться.
Если функция y = f(x)
интегрируема на отрезке
и для любого значения аргумента , то 
.
Это свойство доказывается через определение интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек при будет неотрицательной (не положительной).
Следствие.
Для интегрируемых на отрезке
функций y = f(x)
и y = g(x)
справедливы неравенства:
Это утверждение означает, что допустимо интегрирование неравенств. Этим следствием мы будем пользоваться при доказательстве следующих свойств.
Пусть функция y = f(x)
интегрируема на отрезке
, тогда справедливо неравенство 
.
Доказательство.
Очевидно, что 
. В предыдущем свойстве мы выяснили, что неравенство можно почленно интегрировать, поэтому, справедливо 
. Это двойное неравенство можно записать как .
Пусть функции y = f(x)
и y = g(x)
интегрируемы на отрезке
и для любого значения аргумента , тогда 
, где 
и 
.
Доказательство проводится аналогично. Так как m
и M
– наименьшее и наибольшее значение функции y = f(x)
на отрезке
, то 
. Домножение двойного неравенства на неотрицательную функцию y = g(x)
приводит нас к следующему двойному неравенству . Интегрируя его на отрезке
, придем к доказываемому утверждению.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство 
. Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается 
.
Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).
Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.
Табличные интегралы
Простейшие свойства интегралов
1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.
3. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.
Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:
Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.
Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:
первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.
1.4.Инвариантность форм интегрирования.
Инвариантное интегрирование - вид интегрирования для функций, аргументом которых являются элементы группы или точки однородного пространства (любую точку такого пространства можно перевести в другую заданным действием группы).
функции f(x)сводится к вычислению интеграла от дифференциальной формы f.w, где
Явная ф-ла для r(х)приводится ниже. Условие согласования имеет вид 
.
здесь Tg означает оператор сдвига на X с помощью gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Пусть X=G - топология, группа, действующая на себе левыми сдвигами. И. и. существует тогда и только тогда, когда G локально компактна (в частности, на бесконечномерных группах И. и. не существует). Для подмножества И. и. характеристических функции cA (равной 1 на A и 0 вне А)задаёт левую меру Xаара m(A). Определяющим свойством этой меры является её инвариантность при левых сдвигах: m(g-1A)=m(А)для всех gОG. Левая мера Хаара на группе определена однозначно с точностью до положит, скалярного множителя. Если известна мера Хаара m, то И. и. функции f даётся формулой 
. Аналогичными свойствами обладает правая мера Хаара. Существует непрерывный гомоморфизм (отображение, сохраняющее групповое свойство) DG группы G в группу (относительно умножения) положит. чисел, для которого
где dmr и dmi - правая и левая меры Хаара. Функцию DG(g) наз. модулем группы G. Если , то группа G наз. унимодулярной; в этом случае правая и левая меры Хаара совпадают. Компактные, полупростые и нильпотентные (в частности, коммутативные) группы унимодулярны. Если G - n-мерная группа Ли и q1, ...,qn - базис в пространстве левоинвариантных 1-форм на G, то левая мера Хаара на G задаётся n-формой . В локальных координатах для вычисления
форм qi можно воспользоваться любой матричной реализацией группы G: матричная 1-форма g-1dg левоинвариантна, а её коэф. являются левоинвариантными скалярными 1-формами, из которых и выбирается искомый базис. Напр., полная матричная группа GL(n, R)унимодулярна и мера Хаара на ней задаётся формой. Пусть 
X=G/H - однородное пространство, для которого локально компактная группа G является группой преобразований, а замкнутая подгруппа Н - стабилизатором некоторой точки. Для того чтобы на X существовало И. и., необходимо и достаточно, чтобы для всех hОH выполнялось равенство DG(h)=DH(h). В частности, это верно в случае, когда Н компактна или полупроста. Полной теории И. и. на бесконечномерных многообразиях не существует.
Замена переменных.
Пусть функция y = f (x ) определена на отрезке [a , b ], a < b . Выполним следующие операции:
1) разобьем [a , b ] точками a = x 0 < x 1 < ... < x i - 1 < x i < ... < x n = b на n частичных отрезков [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i - 1 , x i ], ..., [x n - 1 , x n ];
2) в каждом из частичных отрезков [x i - 1 , x i ], i = 1, 2, ... n , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: f (z i ) ;
3) найдем произведения f (z i ) · Δx i , где – длина частичного отрезка [x i - 1 , x i ], i = 1, 2, ... n ;
4) составиминтегральную сумму функции y = f (x ) на отрезке [a , b ]:
С геометрической точки зрения эта сумма σ представляет собой сумму площадей прямоугольников, основания которых – частичные отрезки [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i - 1 , x i ], ..., [x n - 1 , x n ], а высоты равны f (z 1 ) , f (z 2 ), ..., f (z n ) соответственно (рис. 1). Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка:
5) найдем предел интегральной суммы, когда λ → 0.
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка [a , b ] на частичные отрезки, ни от выбора точек z i в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f (x ) на отрезке [a , b ] и обозначается
Таким образом,
В этом случае функция f (x ) называется интегрируемой на [a , b ]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x ) – подынтегральной функцией, f (x ) dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования; отрезок [a , b ] называется промежутком интегрирования.
Теорема 1. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], то она интегрируема на этом отрезке.
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
Если a > b , то, по определению, полагаем
2. Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке [a , b ] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x ) . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f (x ) , снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).
Определенный интеграл от неотрицательной функции y = f (x ) с геометрической точки зрения равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x ) , слева и справа – отрезками прямых x = a и x = b , снизу – отрезком оси Ох.
3. Основные свойства определенного интеграла
1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
4.Если функция y = f (x ) интегрируема на [a , b ] и a < b < c , то
5. (теорема о среднем) . Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], то на этом отрезке существует точка , такая, что
4. Формула Ньютона–Лейбница
Теорема 2. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] и F (x ) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность F (b ) - F (a ) принято записывать следующим образом:
где символ называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение. Для подынтегральной функции f (x ) = x 2 произвольная первообразная имеет вид
Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления интеграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид:
5. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3. Пусть функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ]. Если:
1) функция x = φ (t ) и ее производная φ "(t ) непрерывны при ;
2) множеством значений функции x = φ (t ) при является отрезок [a , b ];
3) φ (a ) = a , φ (b ) = b , то справедлива формула
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
В отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования α и β (для этого надо решить относительно переменной t уравнения φ (t ) = a и φ (t ) = b ).
Вместо подстановки x = φ (t ) можно использовать подстановку t = g (x ) . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: α = g (a ) , β = g (b ) .
Пример 2 . Вычислить интеграл
Решение. Введем новую переменную по формуле . Возведя в квадрат обе части равенства , получим 1 + x = t 2 , откуда x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt = 2tdt . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы x = 3 и x = 8. Получим: , откуда t = 2 и α = 2; , откуда t = 3 и β = 3. Итак,
Пример 3. Вычислить
Решение. Пусть u = ln x , тогда , v = x . По формуле (4)